3. Nombres y Cuantificadores: ¿Nada Es Algo?
La inferencia que observamos en el capítulo anterior involucraba frases como “o” y “no es el caso que”, palabras que se suman, o reúnen, a sentencias completas para hacer otras sentencias completas; pero hay muchas inferencias que parecen funcionar de modos muy diferentes. Considera, por ejemplo, la inferencia:
Alguien me dio un libro
Ni la premisa ni la conclusión contienen un parte que se en sí misma una sentencia completa. Si esta inferencia es válida, lo es debido a lo que sucede al interior de sentencias completas.
La gramática tradicional nos dice que la sentencia completa más simple está compuesta de un sujeto y un predicado. Así, consideremos los siguientes ejemplos:
1. Marcos vio un elefante.
2. Ana se quedó dormida.
3. Alguien me pegó.
4. Nadie vino a mi fiesta.
La primera palabra, en cada caso, es el sujeto de la sentencia: este nos dice sobre quién habla la sentencia. El resto es el predicado: este nos dice qué se habla de él. Ahora, ¿Cuándo es que una sentencia así es verdadera? Tomemos el segundo ejemplo. Esta sería verdadera si el objeto referido por el sujeto “Ana” tiene la propiedad expresada en el sujeto, esto es, haberse quedado dormida.
Nadie
Todo bien. Pero ¿a qué se refiere el sujeto de la sentencia 3? ¿A la persona que me pegó? Pero tal vez nadie me golpeó. Nadie ha dicho que fuera una sentencia verdadera. El caso con la sentencia 4 es aun peor. ¿A quién se puede uno referir con “nadie”? en Through the Looking Glass, justo antes de su encuentro con el León y el Unicornio, Alicia se encuentra entonces con el Rey Blanco, quien espera a un mensajero (que por alguna razón, cuando el mensajero se voltea, parece, desconcertantemente, como un conejo). Cuando el Rey conoce a Alicia le dice:
“…Mira en el camino, y dime si puedes ver… [Al mensajero]”.
“Veo que... no, a nadie” dijo Alicia.
“Cómo quisiera tener unos ojos así” recalcó el rey algo irritado. “¡Ser capaz de ver a Nadie! ¡Y a esta distancia además! ¡Porque, bajo esta luz, eso es tanto como Yo puedo hacer para ver a gente real!...”
Carroll está haciendo una broma lógica, como a menudo lo hace. Cuando Alicia dice que puede ver a nadie, no está diciendo que puede ver a una persona –real o de otro tipo. “Nadie” no hace referencia a una persona –o cualquier otra cosa.
Palabras como “nadie”, “alguien”, “todos” son llamados cuantificadores, por los lógicos modernos, distinguiéndose de nombres como “Marcos” o “Ana”. Lo que hemos visto es que, incluso cuando tanto cuantificadores como nombres pueden ser sujetos gramaticales de sentencias, deben de funcionar de modos muy diferentes. Así es que ¿cómo funcionan los cuantificadores?
He aquí la respuesta estándar moderna. Una situación viene equipada con un repertorio de objetos. En nuestro caso, los objetos relevantes son todas las personas. Todos los nombres que ocurran en nuestro razonamiento sobre la situación hacen referencia a uno de los objetos de esta colección. Entonces, si escribimos m por “Marcos”, m se refiere a uno de esos objetos. Y si escribimos F por “es feliz” entonces la sentencia mF es verdadera en la situación sólo si el objeto referido por m tiene la propiedad expresada en F (por razones perversas propias, los lógicos, usualmente revierten el orden, y escriben Fm. Esto es sólo cuestión de convención).
Ahora considera la sentencia “Alguien es feliz”. Esto es verdadero en la situación solo si hay algún objeto u otro, de la colección de objetos, que sea feliz –esto es, que algún objeto de la colección, llamémoslo x, es tal que x es feliz. Escribamos “Algún objeto, x, es tal que” como ∃x. entonces podemos escribir la sentencia como: “∃x x es feliz”; o recordando que hemos escrito “es feliz” como F, como: ∃x xF. Los lógicos llaman, a veces, cuantificador particular a ∃x.
¿Y qué tal con “Todos son felices”? Esto es verdadero en una situación, si cualquier objeto de la colección relevante es feliz. Esto es, cualquier objeto, x, en la colección, es tal que x es feliz. Si escribimos “Cualquier objeto, x, es tal que” como ∀x, entonces podemos escribir aquello como ∀x xF. Los lógicos llaman, usualmente, cuantificador universal a ∀x.
No nos cuesta nada preguntarnos cómo haremos para comprender “Nadie es feliz”. Esto sólo significa que ningún objeto, x, de la colección relevante, es tal que x es feliz. Podríamos tener un símbolo especial que signifique “Ningún objeto, x, es tal que” pero, de hecho, los lógicos, normalmente, no se toman esa molestia. Dado que decir que ninguno es feliz es como decir que no es el caso que todos sean felices. Entonces podemos escribirlo como ¬∃x xF.
Este análisis de los cuantificadores nos muestra que nombres y cuantificadores funcionan de maneras muy diferentes. En particular, el hecho de que “Marcos es feliz” y “Alguien es feliz” se escriben, de modos diferentes, como mF y ∃x xF, respectivamente, lo demuestra. Nos muestra, además, que formas gramaticales aparentemente simples pueden ser malinterpretadas. No todos los sujetos gramaticales son iguales. Incidentalmente, el recuento no enseña porqué la inferencia con la que comenzamos es válida. Escribamos D por “me dio el libro”. Entonces la inferencia es:
mD
∃x xD
Queda claro que si, en alguna situación, el objeto referido por el nombre m me dio el libro, entonces algún objeto de la colección relevante me dio el libro. En contraste, el Rey Blanco infiere del hecho de Alicia vio a Nadie que ella vio a alguien (viz., Nadie). Si escribimos “es visto por Alicia” como A entonces la inferencia del Rey es:
¬∃x xA
∃x xA
Esto es claramente inválido. Si no hay objeto en la colección relevante que haya sido visto por Alicia, no es verdad, obviamente, que haya algún objeto en el dominio relevante que haya sido visto por ella.
Es posible que pienses que esto es preocuparse demasiado por la nada –de hecho, es sólo un modo de estropear una buena broma. Porque esto es mucho más serio que eso. Dado que los cuantificadores juegan un rol central en muchos argumentos importantes en matemáticas y filosofía. Es una asunción natural que nada pase sin explicación: la gente no se enferma sin razones; los carros no se descomponen sin alguna falla. Todo, entonces, tiene una causa. Pero ¿Cuál podría ser la causa de que todo sea? Obviamente no puede serlo cualquier cosa física, como una persona; o incluso algo como el Big Bang de la cosmología. Esas cosas tienen, ellas mismas, causas. Así es que debe haber algo metafísico en ello. Dios es el candidato obvio.
Lo anterior es una versión del argumento de la existencia de Dios, a menudo llamado el Argumento Cosmológico. Uno puede objetar este argumento de varias formas. Pero en su centro, hay una enorme falacia lógica. La sentencia “Todo tiene una causa” es ambigua. Puede significar que todo lo que ocurre tiene una causa u otra -esto es, para todo x, hay un y, tal que x es causado por y, o puede significar que hay algo que es la causa de todo –esto es, que haya algún y tal que para todo x, x es causado por y. supongamos que pensamos en las causas y efectos como el dominio de objetos relevantes, y escribimos “x es causado por y” como xCy. Entonces podemos escribir estos dos significados, respectivamente, como:
1. ∀x ∃y xCy
2. ∃y ∀x xCy
Ahora, ellas no son lógicamente equivalentes. La primera se sigue de la segunda. Si hay alguna cosa que sea la causa de todo, entonces ciertamente, todo lo que ocurre tiene alguna causa u otra. Pero si todo tiene una causa u otra, de ello no se sigue que haya una y la misma cosa que sea la causa de todo (compárese: Todos tienen mamá; de ello no se sigue que haya alguien que sea la mamá de todos).
Esta versión del Argumento Cosmológico trata sobre esta ambigüedad. Lo que es establecido, cuando se habla de enfermedad o de carros, es 1. Pero inmediatamente, el argumento nos lleva a preguntarnos cual causa es esa, asumiendo que es 2 lo que se ha establecido. Además este desliz se oculta, dado que en español, “Todo tiene una causa” puede ser usada para expresar tanto 1 como 2. Nótese, además, que no hay ambigüedad si los cuantificadores son remplazados por nombres. “La radiación natural del cosmos es causada por el Big Bang” no es para nada ambigua. Pudiendo muy bien ser que una falla al distinguir entre cuantificadores y nombres sea también una razón del porque uno falla al ver la ambigüedad.
Entonces una correcta comprensión de los cuantificadores es importante –y no sólo para la lógica. Las palabras “algo”, “nada”, etc., no representan objetos, sino que funcionan muy de otro modo. O al menos, lo pueden hacer: las cosas no son así de simples. Considérese el cosmos de nuevo. O este se remonta infinitamente en el tiempo pasado o en algún momento en particular devino existente. En el primer caso, no tendría inicio, sino que siempre estuvo allí; en el segundo, este comenzó en algún momento en particular. De hecho, en diferentes momentos, la física ha dicho diferentes cosas sobre la verdad de estos dichos. No importa, de todos modos; consideremos la segunda posibilidad. En este caso, el cosmos devino existente a partir de la nada –o nada físico, a pesar de que, el cosmos sea la totalidad de lo físico. Ahora considérese la sentencia “El cosmos devino existente partiendo de la nada”. Sea c el cosmos y escribamos “x devino existente partiendo de y” como xEy. Entonces dada nuestra comprensión de los cuantificadores, esta sentencia debería significar ¬∃x cEx. Pero ello no significa esto; dado que esto es igualmente verdadero para la primer alternativa cosmológica. En ella el cosmos, siendo infinito en el tiempo pasado, nunca jamás devino existente. En particular, entonces, no es el caso que devino existente partiendo de alguna cosa u otra. Cuando decimos que en la segunda cosmología el cosmos devino existente partiendo de la nada, queremos decir que devino existente partiendo de la nada absoluta. Donde nada puede ser algo. Después de todo, el Rey no estaba tan desatinado.
Ideas principales del capítulo.
· La sentencia oP es verdadera en una situación, si el objeto referido por o tiene la propiedad expresada por P.
· ∃x xP es verdadera en una situación solo si algún objeto en la situación, x, es tal que xP.
· ∀x xP es verdadera en una situación solo si todo objeto en la situación, x, es tal que xP.
Graham Priest, Logic A very short introduction, 2000, 2006 (Traducción propia).
