Definiciones: Lógica con sentido común.

1.1 

       · La Lógica es el estudio de los métodos y principios de la argumentación correcta. 

       · La Lógica formal es la lógica organizada como sistema formal. 

       · La Lógica informal es la lógica no organizada como sistema formal.

1.2.1

Un Argumento es un grupo de sentencias dadas tales que: 

     

      1. Algunas de esas sentencias son ofrecidas como razones para alguna de las otras sentencias,

      2. Las sentencias ofrecidas como razones son llamadas las premisas del argumento, 

      3. La sentencia para la cual las razones son dadas es llamada la conclusión del argumento. 

1.2.2

Un argumento es un argumento formalmente afirmado si y solo si: 

       

       1. Todas la sentencias son afirmaciones (i.e., sentencias que son verdaderas o falsas), 

       2. Todas y sólo las partes intencionalmente dadas del argumento son explícitamente afirmadas, 

       3. Tiene este formato: 

            · Todas las premisas se enlistan primero, 

            · Después, un indicador de inferencia (“entonces”), 

            · Después, la conclusión se enlista al final. 

      4. Un argumento formalmente afirmado puede estar acompañado por una demostración total o parcial       que provea una serie de conclusiones intermedias que muestran cómo las premisas están conectadas con la conclusión. 

1.2.3 

Un argumento es un argumento deductivo si y solo si: 

     · El que argumenta reconoce que la conexión entre premisas y conclusión se basa en las leyes de la lógica. 

Un argumento es un argumento inductivo si y sólo si: 

   ·· El que argumenta reconoce que la conexión entre premisas y conclusión está basada en probabilidades.

1.3.1 

Un argumento es un argumento válido si y sólo si: 

       · Hay una conexión conclusiva que conduzca de las premisas a la conclusión. 

De otro modo, el argumento es inválido.

1.3.2 

Un argumento es un argumento sólido si y sólo si: 

      Tanto 1. El argumento es válido, 

      Como 2. Todas las premisas son verdaderas. 

De otro modo, el argumento es no sólido. Comentario: un argumento sólido garantiza que la conclusión es verdadera. Un argumento no sólido deja la cuestión sin decidir.

1.3.3

1.4.1

Una sentencia p es posiblemente verdadera (es lógicamente posible, es posible) si y sólo si:  

             ·         Uno puede imaginar una situación en la cual p es verdadera, lo cual es lo mismo que:

             ·         La sentencia p no contiene una contradicción al interior.

Una sentencia p es posiblemente falsa si y sólo si:

·         Uno puede imaginar una situación en la cual p es falsa.

Una sentencia o es tanto posiblemente verdadera como posiblemente falsa si y sólo si:

·         Uno puede imaginar una situación en la cual p es verdadera, y uno también puede imaginar una situación en la cual p es falsa.

1.4.2

Una sentencia p es necesariamente verdadera (es necesaria) si y sólo si:

·         En toda situación imaginable, p es verdadera, lo que es lo mismo que:

·         Uno no puede imaginar una situación en la que p es falsa.

Una sentencia p es necesariamente falsa (es imposible) si y sólo si:

             ·         En toda situación imaginable, p es falsa, lo que es lo mismo que:

             ·         Uno no puede imaginar una situación en la que p es verdadera.

1.4.3

Una sentencia p es empírica (es contingente) si y sólo si:

           ·         La sentencia p no es necesariamente verdadera, y la sentencia p no es necesariamente falsa, lo que es lo mismo que:

           ·         Uno puede imaginar que la sentencia p es verdadera, y uno puede imaginar que la sentencia p es falsa.

Una sentencia p es empíricamente verdadera si y sólo si:

           ·         La sentencia p es empírica, y la sentencia p es verdadera en el mundo real.

 Una sentencia p es empíricamente falsa si y sólo si:

           ·         La sentencia p es empírica, y la sentencia p es falsa en el mundo real.

1.4.4

1.5.1

Un argumento es una prueba (de su conclusión) si y sólo si:

          ·         Se sabe que el argumento es sólido, esto es:

1.      Se sabe que el argumento es válido, y

2.      Se sabe que todas las premisas son verdaderas.

1.5.2

Un argumento es un argumento erróneo (o falso) si y sólo si:

         ·         Se sabe que el argumento es no sólido, esto es:

1.      Se sabe que el argumento es inválido, O

2.      Se sabe que alguna de las premisas es falsa.

1.5.3

Un argumento es un argumento inconcluso si y sólo si:

         ·         No se sabe si el argumento es sólido, y además:

         ·         No se sabe si el argumento es no sólido; esto es:

1.      Se sabe que el argumento es válido; pero

2.      No se sabe si todas las premisas son verdaderas, además de que,

3.      No se sabe si alguna de las premisas es falsa,

Esto es, al menos una de las premisas es cuestionable.

1.5.4

1.6.1 

Un argumento es un deductivamente válido si y sólo si:

          1.      No es lógicamente posible que

          (todas las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa)

          2.      No es imaginable que

          (todas las premisas sean verdaderas y  la conclusión sea falsa)

1.6.2

Un argumento inductivo tiene una conexión cuyo grado de fuerza es definido por el grado de probabilidad (%) que la conclusión tiene en relación con las premisas:

                Inferencia muy débil (5%)

                Inferencia débil (25%)

                Inferencia algo fuerte (51%)

    Inferencia medio fuerte (75%)

    Inferencia muy fuerte (99%)

    Inferencia conclusiva (100%)

1.6.3

Una inferencia es inductivamente válida si y sólo si:

                La conclusión tiene un 100% de probabilidad relativa a las premisas.

1.6.4

Un argumento inductivo es convincente si y sólo si:

   1. Se sabe que todas las premisas son verdaderas, y

   2. La conclusión tiene un grado fuerte de probabilidades (51% o más) relativo a las premisas.

De otro modo, el argumento es no convincente.

Arnold vander Nat - Simple Formal Logic With Common-Sense Symbolic Techniques - Routledge - 2010 (Traducción propia, 2011).

Lo mismo o no ¡Lógico!: Logic A very short introduction.

Identidad y cambio: ¿Es Cualquier Cosa Siempre La Misma?

No hemos terminado con el tiempo, aun. El tiempo está involucrado en varios otros enigmas, un tipo de los cuales observaremos en este capítulo. Este tipo concierne a los problemas que surgen cuando las cosas cambian; y específicamente, la cuestión de lo que se puede decir sobre la identidad de los objetos que cambian a través del tiempo.

He aquí un ejemplo. Todos pensamos que los objetos pueden sobrevivir a los cambios. Por ejemplo, cuando pinto el closet, a pesar de que su color pueda cambiar, aun sería el mismo closet. O cuando uno cambia de estilo de cabello, o si uno es tan desafortunado como para perder un miembro, uno sigue siendo uno mismo. ¿Pero cómo puede cualquier cosa sobrevivir al cambio? Después de todo, cuando uno cambia de estilo de cabello, la persona resultante es diferente, no es completamente igual. Y si la persona es diferente, es una persona diferente; de modo que el uno viejo ha dejado de existir. Exactamente del mismo modo, puede ser argüido, ningún objeto persiste al cambio, cualquiera que este sea. Dado que el cambio significa que el objeto viejo ha dejado de existir y es reemplazado  por un objeto muy diferente.

Argumentos como este aparecen en varios lugares de la historia de la filosofía, pero ahora, los lógicos  generalmente han coincidido en que ello es una equivocación que descansa en una simple ambigüedad. Debemos distinguir entre un objeto y sus propiedades. Cuando decimos que uno, con un diferente estilo de cabello, es diferente, estamos diciendo que uno tiene diferentes propiedades. De ello no se sigue  que uno sea una persona diferente, del modo en que yo soy diferente de ti.

Una de las razones por la que uno falla al distinguir entre un cierto objeto y unas ciertas propiedades es que, en español, el verbo “ser” y sus varias formas gramaticales -“es”, “soy”, y así- puede ser usado para expresar ambas cosas (y lo mismo pasa con palabras similares en otros idiomas). Si decimos “La mesa es roja”, “Ahora, tu cabello es corto” y cosas similares, le estamos atribuyendo propiedades a un objeto. Pero si alguien dice “Yo soy Graham Priest”, “La persona que ganó la carrera es la misma que el año pasado” y demás, entonces se está identificando un objeto de algún modo.

Los lógicos llaman al primer uso de “es” el “es” de predicación; al segundo uso de “es” lo llaman el  “es” de identidad. Y como ambas tienen propiedades un tanto diferentes, se escriben de modos diferentes. El “es” de predicación lo hemos conocido en el capítulo 3. “Juan es rojo” es típicamente escrito en la forma jR (de hecho, como se hizo notar en el capítulo 3, es más común escribirlo al revés, como Rj). El “es” de identidad es escrito con =, que nos es familiar desde las matemáticas escolares. Así, “Juan es la persona que ganó la carrera” se escribe: j = g (el nombre g es aquí una descripción, pero es irrelevante en esta explicación). Sentencias como esta con llamadas identidades.

¿Qué propiedades tiene la identidad? Primero, es una relación. Una relación es algo que relaciona dos objetos. Por ejemplo, ver es una relación. Si decimos, “Juan ve a María” estamos estableciendo una relación entre ambos. Los objetos relacionados por una relación, no necesariamente tienen que ser diferentes. Si decimos “Juan se ve a sí mismo” (tal vez en un espejo), estamos estableciendo una relación que Juan tiene con Juan. Ahora, la identidad es una relación muy especial. Es una relación que todo objeto tiene consigo mismo y nada más.

Se pudiera pensar que ello hace a la identidad una relación más bien inútil, pero, de hecho, no es así. Por ejemplo, si decimos “Juan es la persona que ganó la carrera”, estoy diciendo que la relación de identidad se sostiene entre el objeto referido por “Juan” y el objeto referido por “la persona que ganó la carrera” -en otras palabras, que esos dos nombre se refieren a una y la misma persona. Esta puede ser una pieza de información altamente significativa.

No obstante, la cosa más importante sobre la identidad, son las inferencias en las que está involucrada. He aquí un ejemplo:

Juan es la persona que ganó la carrera.

La persona que ganó la carrera obtuvo un premio.

Entonces Juan ganó un premio.

Podemos escribir esto como:

j = w    wP

jP

Esta inferencia es válida en virtud del hecho de que, para cualquier objeto, x y y, si x = y, entonces x tiene cualquier propiedad que y tenga, y viceversa. Uno y el mismo objeto, o tiene la propiedad en cuestión o no la tiene. Esta es usualmente llamada la ley de Leibniz, debida a Leibniz. A quién conocimos en el capítulo 6. En una aplicación de la ley de Leibniz, una premisa es una afirmación de identidad, digamos m = n; la segunda premisa es una sentencia que contiene uno de los nombres que flanquean en signo de identidad, digamos m; y la conclusión se obtiene sustituyendo n por m en ella.

9. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), el último lógico notable antes del periodo Moderno.

La ley de Leibniz es muy importante, y tiene muchas aplicaciones no problemáticas. Por ejemplo, el álgebra de preparatoria nos asegura que (x + y)(x – y) = x2 – y2. De modo que si se está resolviendo un problema, y se establece que, digamos, x2 – y2 = 3, se puede aplicar la ley de Leibniz para inferir que (x + y)(x – y) = 3. Sin embargo, su simplicidad engañosa esconde multitud de problemas. En particular, parece haber varios contraejemplos a ello. Considérese, por ejemplo, la siguiente inferencia:

Juan es la persona que ganó la carrera.

María sabe que la persona que ganó la carrera obtuvo un premio.

Entonces, María sabe que Juan obtuvo un premio.

Esta se ve como una aplicación de la ley de Leibniz dado que la conclusión se obtiene sustituyendo “Juan” por “la persona que ganó la carrera” en la segunda premisa. Aun así es claro que las premisas pueden muy bien ser verdaderas sin ser verdadera la conclusión: María podría no saber que Juan es la persona que ganó la carrera. ¿Es esta una violación a la ley de Leibniz? No necesariamente. La ley dice que si x = y entonces cualquier propiedad de x es propiedad de y. Ahora, ¿la condición “María sabe que x obtuvo un premio” expresa una propiedad de x? En realidad no: más bien parece expresar una propiedad de María. Si María desapareciera súbitamente de la existencia, ¡Ello no cambiaría para nada a x! (La lógica de frases tales como “sabe que”, se encuentran sub judice, aun hoy en Lógica).

Otra clase de problemas son como sigue. He aquí un camino, es un camino de asfalto, llamémoslo a. Y he aquí un camino, es un camino de tierra; llamémoslo t. Sin embargo, ambos caminos son el mismo, a = t. Es sólo que el asfalto no llega hasta el final del camino. De modo que la ley de Leibniz nos dice que a es un camino de tierra y t es un camino de asfalto. ¿Qué ha ido mal aquí? No podemos decir que el ser de tierra o de asfalto no son, en realidad, propiedades del camino. Ciertamente que lo son. Lo que  (se puede argüir que) ha ido mal, es esto: no estamos siendo suficientemente precisos en nuestra especificación de las propiedades. Las propiedades relevantes son ser de asfalto de tal a tal punto, y ser de tierra de tal a tal punto. Dado que a y t son el mismo camino, tiene ambas propiedades, y no hemos violado la ley de Leibniz.

Hasta aquí todo bien. Estos problemas son relativamente fáciles. Veamos ahora uno que no lo es. Y aquí, el tiempo vuelve a ser parte del tema. Para explicar cuál es el problema, nos será útil emplear los operadores temporales del capítulo pasado, y específicamente, V (Siempre va a ser el caso que). Sea x cualquier cosa que se quiera, un árbol, una persona; y considérese la afirmación x = x. Esto dice que x tiene la propiedad de ser idéntico a x -lo cual es absolutamente verdadero: ello es parte del mismo significado de identidad. Y ello es así, independientemente del tiempo. Es verdadero ahora, verdadero en todo el tiempo futuro y verdadero en todo el tiempo pasado. Entonces, en particular, Vx = x es verdadero. Ahora, he aquí una instancia de la ley de Leibniz:

x = y    Vx = x

Vx = y

(No olvidemos el hecho de que hemos sustituido y en sólo una de las ocurrencias de x en la segunda premisa. Tales aplicaciones de la ley de Leibniz tienen perfecto sentido. Sólo considérese: “Juan es la persona que ganó la carrera; Juan ve a Juan; entonces Juan ve a la persona que ganó la carrera”). Lo que la inferencia muestra es que si x es idéntica a y, y x tiene la propiedad de ser idéntica a x en todo tiempo futuro, también lo hace y. Y dado que la segunda premisa es verdadera, tal como lo hemos notado, se sigue que si dos cosas son idénticas, siempre serán idénticas.

¿Y qué con eso? Pues simplemente, que ello no siempre parece ser verdad. Por ejemplo, considérese una ameba. Las amebas son criaturas acuáticas unicelulares que se multiplican por fisión: una ameba se dividirá por el medio para convertirse en dos amebas. Ahora, tomemos una ameba, A, que se divide para convertirse en dos amebas, B y C. Antes de la división, tanto B como C eran A. Entonces, antes de la división, B = C. Sin embargo, después de la división, B y C son distintas amebas, ¬B = C. Entonces si dos cosas son la misma, no se sigue necesariamente que lo sean siempre.

No podemos escapar de este problema del mismo modo que lo hemos hecho de los previos. La propiedad de ser idéntico a x en todo el tiempo futuro es, ciertamente, una propiedad de x. Y no parece ser el caso que la propiedad insuficientemente fina. No parece haber un modo de hacerla más precisa y evitar el problema.

¿Qué más se puede decir? Un pensamiento natural es este. Antes de la división, B no era A: sólo era parte de A. Pero B es una ameba, y A es una criatura unicelular: no tiene partes que sean amebas. Entonces B no puede ser parte de A.

Más radicalmente, uno puede sugerir que B y C no existen en realidad antes de la división, es entonces cuando devienen existentes. Si no existían antes de la división, entonces no fueron A antes de la división. Entonces no es el caso que B = C antes de la división. Pero ello parece incorrecto también. B no es una nueva ameba; es simplemente A, aunque algunas de sus propiedades hayan cambiado. Si ello no es claro, sólo imagínese que C muriera en la división. En este caso, no vacilaríamos en decir que B es A (ello habría sido como una serpiente cambiando de piel). Ahora la identidad de algo no puede ser afectada por que haya otras cosas a su alrededor. Entonces A es B. Del mismo modo que A es C.

Por supuesto que, uno podría insistir en que sólo por el hecho de A tenga nuevas propiedades, es, estrictamente hablando, un nuevo objeto; no meramente un viejo objeto con nuevas propiedades. De modo que B no es realmente A. E igualmente C. Pero ahora estamos de vuelta en el problema con el cual comenzamos el capítulo.

Ideas principales del capítulo

m = n es verdadera sólo si los nombres m y n se refieren al mismo objeto.

Si dos objetos son el mismo, cualquier propiedad de uno es propiedad del otro (Ley de Leibniz).

Graham Priest, Logic A very short introduction, 2000, 2006 (Traducción propia).

Ello fue futuro y será pasado ¡Lógico!: Logic A very short introduction.

El futuro y el pasado: ¿El tiempo es real? 

El tiempo es una cosa con la cual todos estamos muy familiarizados. Planeamos hacer cosas en el futuro; recordamos cosas del pasado; y algunas veces simplemente disfrutamos de estar en el presente. Parte de nuestra ubicación en el tiempo se debe a que realizamos inferencias concernientes al tiempo. Por ejemplo, las dos siguientes inferencias son intuitivamente válidas:

Llueve.

Habrá estado lloviendo.

Será verdad que siempre ha estado lloviendo.

Llueve.

Todo esto parece elemental.

Pero tan pronto como uno comienza a pensar en el tiempo, uno parece enredarse entre nudos. Como Agustín dijo, si no se me pregunta qué es el tiempo, entonces lo sé muy bien; pero si se me pregunta, ceso de saberlo. Una de las cosas más complicadas del tiempo es que parece fluir. El presente parece moverse: primero es hoy; después es mañana; y así. ¿Pero cómo es que el tiempo cambia? El tiempo es lo que mide la razón a la que todo lo demás cambia. Este problema está en el corazón de muchos enigmas concernientes al tiempo. Uno de ellos fue reconocido, a principios del siglo XX, por el filósofo británico John McTaggart Ellis McTaggart (esto es correcto). Como muchos filósofos, McTaggart fue tentado por la idea de que el tiempo es irreal -que, en el último reducto de las cosas, el tiempo es una ilusión.

Para explicar el argumento de McTaggart aquí, nos ayudará tener un pequeño simbolismo. Tómese una sentencia en pasado, tal como “el sol brillaba”. Podemos expresar esto equivalentemente, aunque suene un tanto raro, como “fue el caso que el sol brilla”. Escribamos “fue el caso que” como P (de “pasado”). Entonces podemos escribir esta sentencia como “P el sol brilla”, o, simplemente Ps, escribiendo s por “el sol brilla”. Similarmente, tómese cualquier sentencia en futuro, digamos, “el sol brillará”. Podemos escribir esto como “Será el caso que el sol brille”. Si escribimos “Será el caso que” como F (por “futuro”), entonces podemos escribir esto como Fs (sin confundir esta F con el valor de verdad F).

P y F son operadores como ◻ y ◊, que se afijan a sentencias completas para generar sentencias completas. Y aun más, tal como ◻ y ◊, tampoco son funciones de verdad. “Son las 16:00 horas” y “Son las 16:00 horas, del 2 de agosto de 1999” son ambas verdaderas (en el momento en que escribo esto), “Van a ser las 16:00 horas” es también verdadera (en el instante presente) -dado que una vez al día son las 16:00 horas- en tanto que “Van a ser las 16:00 horas del 2 de agosto de 1999” no lo es. Los lógicos llaman operadores temporales a P y F. Los operadores temporales pueden ser iterados o compuestos. Por ejemplo, podemos decir “El sol habrá estado brillando”, esto es, “Será el caso que fue el caso que el sol brilla”: FPs. O podemos decir “El sol hubo estado brillando”, esto es, “Fue el caso que fue el caso que el sol brilla”: PPs (Los operadores modales que conocimos en el capítulo pasado también pueden ser iterados de este modo, aunque eso no fue considerado ahí). No todas las iteraciones de operadores temporales tienen expresiones concisas en español. Por ejemplo, no hay un mejor modo de expresar FPFs que la más bien defectuosa “Será el caso que fue el caso que el sol brillará”. Sin embargo, las iteraciones tienen un sentido gramatical perfecto. Llamamos tiempos compuestos a las iteraciones de P y F, como FP, PP,...

Ahora, de vuelta a McTaggart. McTaggart razonó que no habría tiempo si no hubiera pasado y futuro: estos son su esencia. Aun así afirmaba que lo pasado y lo futuro son inherentemente contradictorios; de modo que, en realidad, nada puede corresponder a ello. Bueno, quizás. ¿Pero porqué el pasado y el futuro son contradictorios? Para empezar, el pasado y el futuro son incompatibles. Si algún evento instantáneo es pasado, entonces no es futuro y viceversa. Sea e algún evento instantáneo. Puede ser cualquier cosa que se quiera, pero supongamos que sea el paso de la primera bala a través del corazón del Zar Nicolás en la Revolución Rusa. Sea h la sentencia “e está ocurriendo”. Entonces tenemos que:

¬(Ph & Fh)

Pero e, como todo evento, es pasado y futuro. Debido a que el tiempo fluye, todos los eventos tienen la propiedad de ser futuro (antes de suceder) y la propiedad de ser pasado (después de suceder):

Ph & Fh

De modo que tenemos una contradicción.

No parece que este argumento pueda persuadir a alguien por mucho tiempo. Un evento no puede ser pasado y futuro al mismo tiempo. El instante en el que la bala pasó a través del corazón del Zar fue pasado y futuro en diferentes momentos. Comenzó como futuro; se volvió presente en un instante doloroso; y entonces fue pasado. Pero ahora -y esta es la astucia del argumento de McTaggart- ¿Qué estamos diciendo aquí? Estamos aplicando tiempos compuestos a h. Estamos diciendo que fue el caso que el evento fue futuro, PFh; después fue el caso que fue pasado, PPh. Ahora, muchos tiempos compuestos, tal como los tiempos simples, son incompatibles. Por ejemplo, si algún evento será futuro,  no es el caso que fuera pasado:

¬(PPh & FFh)

Pero tal como sucede con los tiempos simples, el flujo del tiempo es suficiente para asegurar que todos los eventos tienen tiempos compuestos también. En el pasado Fh; en el pasado distante FFh. En el futuro, Ph; y en el futuro distante, PPh:

PPh & FFh

Y caemos de nuevo en contradicción.

Alguno habrá notado y replicará que, justo como antes, h tiene sus tiempos compuestos en diferentes tiempos. Fue el caso que FFh; entonces, más tarde, fue el caso que PPh. Pero ¿qué estamos diciendo aquí? Estamos aplicando tiempos compuestos más complejos a h: PFFh y PPPh; a lo cual le podemos aplicar exactamente el mismo argumento de nuevo. Estos tiempos compuestos no son todos consistentes entre todos, pero el flujo del tiempo asegura que h los posee todos ellos. Podemos hacer la misma réplica de nuevo, pero, también, queda abierta para la misma contrarréplica. De cualquier modo que intentemos sacar la contradicción de un conjunto de tiempos, lo hacemos describiendo cosas en los términos de otros tiempos que son igualmente contradictorios, de modo que nunca escapamos a la contradicción. Este es el argumento de McTaggart.

¿Qué habremos de decir sobre ello? Para responderlo, observemos la validez de las inferencias concernientes a los tiempos. Para caracterizarlo, suponemos que toda situación, s₀, viene con un conjunto de otras situaciones -que en esta ocasión, no representan posibilidades asociadas a s₀ (como con los operadores modales), sino situaciones que son o anteriores a s₀ o posteriores a s₀. Asumiendo, como normalmente lo hacemos, que el tiempo es unidimensional e infinito en ambas direcciones, pasado y futuro, podemos representar las situaciones de un modo familiar.

... s_-3, s_-2, s_-1, s₀, s₁, s₂, s₃...

La izquierda es el antes y la derecha el después. Como es usual, cada s nos provee de un valor de verdad, V o F, para toda sentencia sin operador temporal. ¿Qué pasa con las sentencias con operadores temporales? Bueno, Pa es V en cualquier situación, s, sólo si a es verdadera en alguna situación a la izquierda de s; y Fa es V en s, sólo si a es verdadera en alguna situación a la derecha de s.

En tanto hacemos todo esto, podemos sumar dos nuevos operadores temporales, V y H. V puede ser leído como “Siempre Va a ser el caso que”, y Va es verdadera en cualquier situación, s, sólo si a es verdadera en todas las situaciones a la derecha de s. H puede ser leído como “Siempre Ha sido el caso que” y Ha es verdadera en cualquier situación, s, sólo si a es verdadera en todas las situaciones a la izquierda de s (V y H se corresponden a F y P, respectivamente, justo del modo en que ◻ se corresponde con ◊).

Esta maquinaria nos muestra el porqué las dos inferencias con que iniciamos el capítulo son válidas. Empleando los operadores temporales, estas inferencias pueden ser escritas, respectivamente, como:

ll

FPll

FHll

ll

Esta inferencia es válida, dado que ll es verdadera en alguna situación, s₀, entonces en cualquier situación a la derecha de s₀, digamos, s₁, Pll es verdadera (dado que s₀ está a su izquierda). Pero entonces FPll es verdadera en s₀, dado que s₁ está a su derecha. Podemos graficar lo anterior de este modo:

... s_-3, s_-2, s_-1, s₀, s₁, s₂, s₃...

       ll

                    Pll

       FPll

La siguiente inferencia es válida, dado que si FHll es verdadera en s₀, entonces en alguna situación a la derecha de s₀, digamos s₂, Hll es verdadera. Pero entonces en todas las situaciones a la izquierda de s₂, y en particular s₀, ll es verdadera:

... s_-3, s_-2, s_-1, s₀, s₁, s₂, s₃...

         FHll

                                Hll

                                                           ll      ll       ll

Más aún, ciertas combinaciones de tiempos son imposibles, como cabría esperar. Así, si h es una sentencia que sólo es verdadera en una situación, digamos s₀, entonces Ph y Fh son falsas en toda s. Ambas conjuntas son falsas en s₀; la primera conjunta es falsa a la izquierda de s₀; la segunda conjunta es falsa a la derecha. Similarmente, e.g. PPh y FFh son falsas en toda s. Dejémoslo sin detallar.

Ahora ¿cómo se relaciona todo ello con el argumento de McTaggart? La resultante del argumento de McTaggart, recordemos, fue que como h tiene todo tiempo posible, nunca es posible evitar la contradicción. Resolver las contradicciones a un nivel de complejidad de los tiempos compuestos sólo los crea en otro. La caracterización de los operadores temporales que recién se ha dado, muestra que esto es falso. Supóngase que h sólo es verdadera en s₀. Entonces cualquier afirmación con tiempo compuesto concerniente a h es verdadera en algún lugar. Por ejemplo, considérese FPPFh. Esta es verdadera en s₂, como lo muestra el siguiente diagrama:

... s_-3, s_-2, s_-1, s₀, s₁, s₂, s₃...

         h

                                                                       Fh

                     PFh

                                   PPFh

                                                            FPPFh

Claramente, podemos hacer lo mismo para cualquier tiempo compuesto de F y P, zigzagueando de derecha a izquierda, tanto como se requiera. Y todo esto es perfectamente consistente. La infinitud de situaciones diferentes nos permite asignar a h todos sus tiempos compuestos en lugares apropiados sin violar las variadas incompatibilidades entre ellos, e.g. teniendo a Fh y Ph como verdaderas en la misma situación. Después de todo, el argumento de McTaggart falla.

8. El espacio no fluye. La persistencia de la memoria, Salvador Dalí.

Este es un final feliz para aquellos que desean creer en la realidad del tiempo. Pero aquellos que están de acuerdo con McTaggart podrían no estar aun persuadidos por nuestras consideraciones. Supóngase que se nos da un conjunto de especificaciones para la construcción de una casa: la puerta de enfrente va aquí; una ventana aquí… ¿Cómo saber que todas las especificaciones son consistentes? ¿Cómo saber que, cuando llevemos a cabo la construcción, todo funcionará y no será necesario, por ejemplo, poner alguna puerta en una posición incompatible? Un modo de determinarlo es construir un modelo a escala de acuerdo a todas las especificaciones. Si tal modelo puede ser construido, las especificaciones son consistentes. Esto es exactamente lo que hemos hecho en lo dicho sobre los tiempos. El modelo es la secuencia de las situaciones, junto con el modo de asignar V y F a las sentencias temporales. Ello es algo un poco más abstracto que el modelo de una casa, pero el principio es esencialmente el mismo.

Sin embargo, puede ser posible objetarle algo al modelo. Algunas veces un modelo ignorará cosas importantes. Por ejemplo, en un modelo a escala de una casa, una viga podría no colapsar, porque esta soporta muchísimo menos peso del que le correspondería a esa viga en una construcción a escala completa. La viga a escala completa podría ser requerida para soportar una carga imposible, haciendo imposible la construcción del edificio a escala completa –a pesar del modelo. Similarmente, podría sugerirse que nuestro modelo del tiempo ignora cosas importantes. Después de todo, lo que hemos hecho es dar un modelo espacial del tiempo (izquierda, derecha, etc.). Pero el espacio y el tiempo son cosas muy diferentes. El espacio no fluye del modo en el que el tiempo lo hace (lo que sea que ello pueda significar, en realidad). Ahora, es exactamente este fluir del tiempo el que produce las supuestas contradicciones que Mctaggart apuntaba. ¡No nos maravillemos que estas no aparezcan en el modelo! Entonces ¿qué es lo que, exactamente, se pierde en el modelo? ¿y una vez que esto es tomado en consideración, la contradicción reaparece?

Ideas principales del capítulo.

·         Toda situación viene con una colección asociada de situaciones anteriores y posteriores.

·         Fa es verdadera en una situación, si a es verdadera en alguna situación posterior.

·         Pa es verdadera en una situación, si a es verdadera en alguna situación anterior.

·         Va es verdadera en una situación, si a es verdadera en toda situación posterior.

·         Ha es verdadera en una situación, si a es verdadera en toda situación anterior.

Graham Priest, Logic A very short introduction, 2000, 2006 (Traducción propia).

Entre Absurdas Condiciones ¡Lógico!: Logic A very short introduction.

7. Condicionales: ¿Qué Hay En Un Si...?

En este capítulo nos enfocaremos en el operador lógico que se introdujo de pasada en el capítulo anterior, el condicional. Recordemos que un condicional es una sentencia de la forma “si a entonces c”, que escribiremos como a → c. Los lógicos llaman a al antecedente del condicional, y c al consecuente. También hicimos notar que una de las más notables inferencias concernientes al condicional es el modus ponens: a,  a → c/c. Los condicionales son fundamentales para gran parte de nuestro razonamiento. En el capítulo pasado mostramos solo un ejemplo de ello. Aun así el condicional es profundamente complicado. Este ha sido estudiado en lógica desde los tiempos más antiguos. De hecho, Calímaco, un comentador antiguo ha reportado que una vez, incluso, los cuervos en las azoteas discutían sobre los condicionales.

Veamos porqué -o al menos una de las razones de porqué- los condicionales son complicados. Si sabemos que a → c, parecería que se puede inferir que ¬(a  ∧  ¬c) (no es el caso que a y no c). Supóngase, por ejemplo, que alguien nos informa que si perdemos el camión, llegaremos tarde. Podemos inferir de ello que es falso que perdamos el camión y no lleguemos tarde. A la inversa, si sabemos que ¬(a  ∧  ¬c), parecería que se puede inferir  a → c de ello. Supóngase por ejemplo, que alguien nos dice que no podemos ir al cine sin gastar dinero (no es el caso que iremos al cine y no gastaremos dinero). Se puede inferir que si se va al cine, se gasta dinero.

¬(a  ∧  ¬c) es, a menudo, escrito como a ⊃ c, y llamado el condicional material. Así, parecería que  a → c y  a ⊃ c significan casi la misma cosa. En particular, asumiendo la maquinaria del capítulo 2, debe tener la misma tabla de verdad. Es un ejercicio simple, que dejaremos, para mostrar que ello es como sigue:­ 

A	C	a ⊃ c
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Pero esto es extraño. Esto significa que si c es verdadera en una situación (como en la primera y tercer fila), así lo es a → c. Esto, difícilmente se ve correcto. Es verdad, por ejemplo que Canberra es la capital federal de Australia, pero el condicional “Si Canberra no es la capital federal de Australia, Canberra es la capital federal de Australia” parece simplemente falso. Similarmente, las tablas de verdad nos muestran que si a es falsa (como en la tercera y cuarta fila), a → c es verdadera. Pero esto también, difícilmente se ve correcto. El condiciona “Si Sídney es la capital federal de Australia, entonces Brisbane es la capital federal” también parece patentemente falsa. ¿Qué es lo que está mal?

Lo que estos ejemplos parecen mostrar es que → no es una función de verdad: el valor de verdad de a → c no está determinado por los valores de verdad de a y c. Tanto “Roma está en Francia” como “Beijing está en Francia” son falsas; pero es verdad que:

Si Italia es parte de Francia, Roma está en Francia.

Mientras que es falso que:

Si Italia es en Francia, Beijing está en Francia.

Entonces ¿Cómo funciona el condicional?

Se puede dar una respuesta usando la maquinaria de los mundos posibles dada en el capítulo pasado. Considérense los dos últimos condicionales. En cualquier situación posible en la que Italia se hubiera incorporado a Francia, Roma hubiera estado, de hecho, en Francia. Pero hay situaciones posibles en las que Italia pudo haber sido incorporada a Francia, sin que esto hubiera tenido algún efecto sobre China, en lo absoluto. De modo que Beijing nunca estuvo en Francia. Esto sugiere que el condicional a → c es verdadero en alguna situación, s, solo si c es verdadera en cada una de las situaciones asociadas con s en las cuales a es verdadera; y es falso en s, si c es falsa en alguna de las situaciones posibles asociadas a s en las que a es verdadera.

Esto da una caracterización plausible de →. Por ejemplo, en ella se muestra el porqué el modus ponens es válido -al menos sobre una asunción. La asunción es que tomamos a s en sí misma como una de las situaciones posibles asociadas a s. Esto parece razonable: cualquier cosa que sea de hecho el caso en s  es, seguramente, posible. Ahora, supóngase que a y a → c son verdaderas en alguna situación, s. Entonces c es verdadera en todas las situaciones asociadas a s en los cuales a es verdadera. Pero s es una de esas situaciones, y a es verdadera en ella. Por ello, lo es c, como se requería.    

Volviendo al argumento con el que comenzamos, podemos ver ahora dónde es que falla. La inferencia sobre la cual el argumento depende es:

           ¬(a  ∧  ¬c)            

a → c

Y ella no es válida. Por ejemplo, si a es falsa en alguna situación, s, esto es suficiente para hacer verdadera a la premisa en s. Pero ello no nos dice algo sobre cómo se comportan a y c en las situaciones posibles asociadas a s. Bien podría ser que en una de ellas, digamos s', a sea verdadera y c no lo sea, como aquí:

s: a : F; c : F

s': a : V; c : F

Así que, a → c no es verdadera en s.

Qué pasa con el ejemplo que dimos poco antes, donde uno es informado de que no se puede ir al cine sin gastar dinero. ¿No es así que en este caso la inferencia parece válida? Supóngase que sabemos que  no podemos ir al cine sin gastar dinero: ¬(c  ∧  ¬d). ¿Estamos realmente obligados a concluir que si vamos al cine gastaremos dinero: c → d? No necesariamente. Supóngase que no vamos a ir al cine, sea como sea, incluso cuando esa noche la entrada sea gratis (hay un programa en la televisión que es mucho más interesante). Entonces sabemos que no es verdad que iremos (¬c) y también que no es verdad que iremos y que no gastaremos dinero: ¬(c  ∧  ¬d). ¿Estamos obligados a inferir que si vamos al cine, gastaremos dinero? Ciertamente que no: podría haber entrada gratuita.

Es importante notar que en el tipo de situación donde se aprendió que la premisa es verdadera porque fuimos informados de ello, usualmente otros factores están operando. Cuando alguien nos dice algo como ¬(c  ∧  ¬d), normalmente no lo hacen sobre la base de conocer que ¬c sea verdadera (si lo supieran, normalmente no habría razones para hablar sobre la situación). Si nos dicen esto, es sobre la base de que hay alguna conexión entre c y d: que no se puede tener a d como verdadera sin que también c lo sea -y esto es exactamente lo que requiere el condicional para ser verdadero. Así que en el caso donde se nos informa la premisa, sería razonable inferir que c → d: pero no por el contenido de lo que se nos ha dicho -más bien por el hecho de que nos ha sido dicho.

7. Saltando a las conclusiones.

De hecho, a menudo hacemos inferencias de este tipo, correctamente, sin pensar. Supóngase, por ejemplo, que le pregunto a alguien cómo hacer que mi computadora haga una cosa u otra, y me contesta que “hay un manual en el estante”. Yo infiero que es un manual para la computadora. Ello no se sigue de lo que en realidad fue dicho, pero remarcarlo pudiera no haber sido relevante a menos de que el manual fuera un manual de computadora, y las personas, normalmente, son relevantes en lo que dicen. Por ello, podemos concluir que es un manual de computadora del hecho de que se nos dijo lo que se nos dijo. La inferencia no es deductiva. Después de todo, la persona pudo haberlo dicho, sin que el manual fuera un manual de computadora. Pero la inferencia aún es una excelente inferencia inductiva. Lo es de un tipo, usualmente, llamado implicadura conversacional.

La caracterización del condicional que acabamos de ver parece ir bien -al menos hasta donde la hemos visto. Esta enfrenta algunos problemas, sin embargo. He aquí uno de ellos. Considérese la siguiente inferencia:

Si vas a Roma estarás en Italia.

Si estás en Italia, estás en Europa.

Por ello si vas a Roma, estarás en Europa.

Si x es mayor que 10 entonces x es mayor que 5.

Por ello, si x es mayor que 10 y menor que 100, entonces x es mayor que 5.

Estas inferencias parecen perfectamente válidas, y lo son en la presente caracterización. Podemos escribir la primera inferencia como:

1.

         a → b      b → c

        a → c

Para ver porque es válida supóngase que las premisas son verdaderas en alguna situación, s. Entonces b es verdadera en toda situación posible asociada a s donde a sea verdadera; e igualmente, c es verdadera en toda situación asociada donde b lo sea. Por ello, c es verdadera en toda aquella situación donde a sea verdadera. Esto es, a → c es verdadera en s.

Podemos escribir la segunda inferencia como:

2.

a → c

(a  ∧  b) → c

Para ver porque es válida supóngase que las premisas son verdaderas en alguna situación, s. Entonces c es verdadera en toda situación posible asociada a s donde a sea verdadera. Ahora, supóngase que a  ∧  b es verdadera en alguna situación asociada; entonces a es, ciertamente, verdadera en esa situación, y por ello, c lo es. Por ello, (a  ∧  b) → c es verdadera en s.

Hasta aquí todo bien. El problema es que hay inferencias que son exactamente de esta forma, pero las cuales parecen ser inválidas. Por ejemplo, supóngase que habrá elección de Presidente con sólo dos candidatos, Martínez, el Presidente actual, y López. Ahora considérese la siguiente inferencia:

Si Martínez muere antes de la elección, López ganará. Si López gana la elección, Martínez se retirará y tomará su pensión. Por ello, si Martínez muere antes de la elección, se retirará y tomará su pensión.

Esta es exactamente una inferencia de la forma 1. Pero aquí parece claro que puede haber una situación en la que ambas premisas sean verdaderas. Pero no la conclusión -a menos de que consideremos una situación bizarra en la cual el gobernador pueda efectuar ¡cobros de pensión desde el más allá!

O considérese la siguiente inferencia sobre Martínez:

Si Martínez salta desde la punta de un alto precipicio, ella morirá debido a la caída. Por ello, si Martínez salta desde la punta de un alto precipicio y usa un paracaídas, ella morirá debido a la caída.

Esta es una inferencia de la forma 2. Aunque, de nuevo, parecería claro que puede haber situaciones donde la premisa sea verdadera pero la conclusión no lo sea.

¿Qué podemos decir sobre este estado de cosas? Pensemos en ello. Más allá del hecho de que los condicionales son centrales en el modo en el que razonamos sobre todas las cosas, aún es una de las áreas más controvertidas de la lógica. Si los pájaros no discuten más sobre los condicionales, los lógicos ciertamente sí.

Principales Ideas del Capítulo 

·         a → b es verdadera en una situación, s, sólo si b es verdadera en toda situación asociada a s donde a es verdadera.

Graham Priest, Logic A very short introduction, 2000, 2006 (Traducción propia).