7. Condicionales: ¿Qué Hay En Un Si...?
En este capítulo nos enfocaremos en el operador lógico que se introdujo de pasada en el capítulo anterior, el condicional. Recordemos que un condicional es una sentencia de la forma “si a entonces c”, que escribiremos como a → c. Los lógicos llaman a al antecedente del condicional, y c al consecuente. También hicimos notar que una de las más notables inferencias concernientes al condicional es el modus ponens: a, a → c/c. Los condicionales son fundamentales para gran parte de nuestro razonamiento. En el capítulo pasado mostramos solo un ejemplo de ello. Aun así el condicional es profundamente complicado. Este ha sido estudiado en lógica desde los tiempos más antiguos. De hecho, Calímaco, un comentador antiguo ha reportado que una vez, incluso, los cuervos en las azoteas discutían sobre los condicionales.
Veamos porqué -o al menos una de las razones de porqué- los condicionales son complicados. Si sabemos que a → c, parecería que se puede inferir que ¬(a ∧ ¬c) (no es el caso que a y no c). Supóngase, por ejemplo, que alguien nos informa que si perdemos el camión, llegaremos tarde. Podemos inferir de ello que es falso que perdamos el camión y no lleguemos tarde. A la inversa, si sabemos que ¬(a ∧ ¬c), parecería que se puede inferir a → c de ello. Supóngase por ejemplo, que alguien nos dice que no podemos ir al cine sin gastar dinero (no es el caso que iremos al cine y no gastaremos dinero). Se puede inferir que si se va al cine, se gasta dinero.
¬(a ∧ ¬c) es, a menudo, escrito como a ⊃ c, y llamado el condicional material. Así, parecería que a → c y a ⊃ c significan casi la misma cosa. En particular, asumiendo la maquinaria del capítulo 2, debe tener la misma tabla de verdad. Es un ejercicio simple, que dejaremos, para mostrar que ello es como sigue:
| A | C | a ⊃ c |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
Pero esto es extraño. Esto significa que si c es verdadera en una situación (como en la primera y tercer fila), así lo es a → c. Esto, difícilmente se ve correcto. Es verdad, por ejemplo que Canberra es la capital federal de Australia, pero el condicional “Si Canberra no es la capital federal de Australia, Canberra es la capital federal de Australia” parece simplemente falso. Similarmente, las tablas de verdad nos muestran que si a es falsa (como en la tercera y cuarta fila), a → c es verdadera. Pero esto también, difícilmente se ve correcto. El condiciona “Si Sídney es la capital federal de Australia, entonces Brisbane es la capital federal” también parece patentemente falsa. ¿Qué es lo que está mal?
Lo que estos ejemplos parecen mostrar es que → no es una función de verdad: el valor de verdad de a → c no está determinado por los valores de verdad de a y c. Tanto “Roma está en Francia” como “Beijing está en Francia” son falsas; pero es verdad que:
Si Italia es parte de Francia, Roma está en Francia.
Mientras que es falso que:
Si Italia es en Francia, Beijing está en Francia.
Entonces ¿Cómo funciona el condicional?
Se puede dar una respuesta usando la maquinaria de los mundos posibles dada en el capítulo pasado. Considérense los dos últimos condicionales. En cualquier situación posible en la que Italia se hubiera incorporado a Francia, Roma hubiera estado, de hecho, en Francia. Pero hay situaciones posibles en las que Italia pudo haber sido incorporada a Francia, sin que esto hubiera tenido algún efecto sobre China, en lo absoluto. De modo que Beijing nunca estuvo en Francia. Esto sugiere que el condicional a → c es verdadero en alguna situación, s, solo si c es verdadera en cada una de las situaciones asociadas con s en las cuales a es verdadera; y es falso en s, si c es falsa en alguna de las situaciones posibles asociadas a s en las que a es verdadera.
Esto da una caracterización plausible de →. Por ejemplo, en ella se muestra el porqué el modus ponens es válido -al menos sobre una asunción. La asunción es que tomamos a s en sí misma como una de las situaciones posibles asociadas a s. Esto parece razonable: cualquier cosa que sea de hecho el caso en s es, seguramente, posible. Ahora, supóngase que a y a → c son verdaderas en alguna situación, s. Entonces c es verdadera en todas las situaciones asociadas a s en los cuales a es verdadera. Pero s es una de esas situaciones, y a es verdadera en ella. Por ello, lo es c, como se requería.
Volviendo al argumento con el que comenzamos, podemos ver ahora dónde es que falla. La inferencia sobre la cual el argumento depende es:
¬(a ∧ ¬c)
a → c
Y ella no es válida. Por ejemplo, si a es falsa en alguna situación, s, esto es suficiente para hacer verdadera a la premisa en s. Pero ello no nos dice algo sobre cómo se comportan a y c en las situaciones posibles asociadas a s. Bien podría ser que en una de ellas, digamos s', a sea verdadera y c no lo sea, como aquí:
s: a : F; c : F
s': a : V; c : F
Así que, a → c no es verdadera en s.
Qué pasa con el ejemplo que dimos poco antes, donde uno es informado de que no se puede ir al cine sin gastar dinero. ¿No es así que en este caso la inferencia parece válida? Supóngase que sabemos que no podemos ir al cine sin gastar dinero: ¬(c ∧ ¬d). ¿Estamos realmente obligados a concluir que si vamos al cine gastaremos dinero: c → d? No necesariamente. Supóngase que no vamos a ir al cine, sea como sea, incluso cuando esa noche la entrada sea gratis (hay un programa en la televisión que es mucho más interesante). Entonces sabemos que no es verdad que iremos (¬c) y también que no es verdad que iremos y que no gastaremos dinero: ¬(c ∧ ¬d). ¿Estamos obligados a inferir que si vamos al cine, gastaremos dinero? Ciertamente que no: podría haber entrada gratuita.
Es importante notar que en el tipo de situación donde se aprendió que la premisa es verdadera porque fuimos informados de ello, usualmente otros factores están operando. Cuando alguien nos dice algo como ¬(c ∧ ¬d), normalmente no lo hacen sobre la base de conocer que ¬c sea verdadera (si lo supieran, normalmente no habría razones para hablar sobre la situación). Si nos dicen esto, es sobre la base de que hay alguna conexión entre c y d: que no se puede tener a d como verdadera sin que también c lo sea -y esto es exactamente lo que requiere el condicional para ser verdadero. Así que en el caso donde se nos informa la premisa, sería razonable inferir que c → d: pero no por el contenido de lo que se nos ha dicho -más bien por el hecho de que nos ha sido dicho.
7. Saltando a las conclusiones.
De hecho, a menudo hacemos inferencias de este tipo, correctamente, sin pensar. Supóngase, por ejemplo, que le pregunto a alguien cómo hacer que mi computadora haga una cosa u otra, y me contesta que “hay un manual en el estante”. Yo infiero que es un manual para la computadora. Ello no se sigue de lo que en realidad fue dicho, pero remarcarlo pudiera no haber sido relevante a menos de que el manual fuera un manual de computadora, y las personas, normalmente, son relevantes en lo que dicen. Por ello, podemos concluir que es un manual de computadora del hecho de que se nos dijo lo que se nos dijo. La inferencia no es deductiva. Después de todo, la persona pudo haberlo dicho, sin que el manual fuera un manual de computadora. Pero la inferencia aún es una excelente inferencia inductiva. Lo es de un tipo, usualmente, llamado implicadura conversacional.
La caracterización del condicional que acabamos de ver parece ir bien -al menos hasta donde la hemos visto. Esta enfrenta algunos problemas, sin embargo. He aquí uno de ellos. Considérese la siguiente inferencia:
Si vas a Roma estarás en Italia.
Si estás en Italia, estás en Europa.
Por ello si vas a Roma, estarás en Europa.
Si x es mayor que 10 entonces x es mayor que 5.
Por ello, si x es mayor que 10 y menor que 100, entonces x es mayor que 5.
Estas inferencias parecen perfectamente válidas, y lo son en la presente caracterización. Podemos escribir la primera inferencia como:
1.
a → b b → c
a → c
Para ver porque es válida supóngase que las premisas son verdaderas en alguna situación, s. Entonces b es verdadera en toda situación posible asociada a s donde a sea verdadera; e igualmente, c es verdadera en toda situación asociada donde b lo sea. Por ello, c es verdadera en toda aquella situación donde a sea verdadera. Esto es, a → c es verdadera en s.
Podemos escribir la segunda inferencia como:
2.
a → c
(a ∧ b) → c
Para ver porque es válida supóngase que las premisas son verdaderas en alguna situación, s. Entonces c es verdadera en toda situación posible asociada a s donde a sea verdadera. Ahora, supóngase que a ∧ b es verdadera en alguna situación asociada; entonces a es, ciertamente, verdadera en esa situación, y por ello, c lo es. Por ello, (a ∧ b) → c es verdadera en s.
Hasta aquí todo bien. El problema es que hay inferencias que son exactamente de esta forma, pero las cuales parecen ser inválidas. Por ejemplo, supóngase que habrá elección de Presidente con sólo dos candidatos, Martínez, el Presidente actual, y López. Ahora considérese la siguiente inferencia:
Si Martínez muere antes de la elección, López ganará. Si López gana la elección, Martínez se retirará y tomará su pensión. Por ello, si Martínez muere antes de la elección, se retirará y tomará su pensión.
Esta es exactamente una inferencia de la forma 1. Pero aquí parece claro que puede haber una situación en la que ambas premisas sean verdaderas. Pero no la conclusión -a menos de que consideremos una situación bizarra en la cual el gobernador pueda efectuar ¡cobros de pensión desde el más allá!
O considérese la siguiente inferencia sobre Martínez:
Si Martínez salta desde la punta de un alto precipicio, ella morirá debido a la caída. Por ello, si Martínez salta desde la punta de un alto precipicio y usa un paracaídas, ella morirá debido a la caída.
Esta es una inferencia de la forma 2. Aunque, de nuevo, parecería claro que puede haber situaciones donde la premisa sea verdadera pero la conclusión no lo sea.
¿Qué podemos decir sobre este estado de cosas? Pensemos en ello. Más allá del hecho de que los condicionales son centrales en el modo en el que razonamos sobre todas las cosas, aún es una de las áreas más controvertidas de la lógica. Si los pájaros no discuten más sobre los condicionales, los lógicos ciertamente sí.
Principales Ideas del Capítulo
· a → b es verdadera en una situación, s, sólo si b es verdadera en toda situación asociada a s donde a es verdadera.
Graham Priest, Logic A very short introduction, 2000, 2006 (Traducción propia).
