6. Necesidad y Posibilidad: ¿Lo Que Será Debe Ser?
A menudo afirmamos no sólo que algo es así, sino que algo debe ser así. Decimos: “Debe ser que llueva”, “No puede fallar que llueva”, “Necesariamente, va a llover”. También tenemos varias formas de decir que aunque algo pudiera no ser el caso, este podría serlo.
Decimos, “Puede ser que llueva mañana”, “Es posible que llueva mañana”, “No es imposible que llueva mañana”. Si a es cualquier sentencia, los lógicos, usualmente escriben la afirmación de que a debe ser verdadera, como ◻a, y la afirmación de que a puede ser verdadera como ◊a.
◻ y ◊ son llamados operadores modales, dado que expresan los modos en los cuales las cosas son verdaderas o falsas (necesariamente, posiblemente). Los dos operadores están, de hecho, conectados. Decir de algo que debe ser el caso es decir que no es posible que ello no sea el caso. Esto es, ◻a significa lo mismo que ¬◊¬a. Similarmente, decir que es posible, para algo, ser el caso, es decir que no es necesariamente el caso que este sea falso. Esto es, ◊a significa lo mismo que ¬◻¬a. Por añadidura, podemos expresar, indiferentemente, el hecho de que es imposible que a sea verdadera, como ¬◊a (no es posible que a), o como ◻¬a (a es necesariamente falsa).
Al contrario de los operadores que conocemos hasta ahora, ◻ y ◊ no son funciones de verdad. Como vimos en el capítulo 2, una vez que se conoce el valor de verdad de a, de ello se desprende el valor de verdad de ¬a. Similarmente, cuando se conocen los valores de verdad de a y b, de ello se desprenden los valores de verdad de a ∧ b y a ∨ b. Pero no se puede inferir, simplemente, el valor de verdad de ◊a del conocimiento del valor de verdad de a. Por ejemplo, sea l la sentencia “Mañana me levantaré antes de las 7 a.m.”, l es falsa, en realidad. Pero, ciertamente, pudiera ser verdadera: podría poner mi despertador y levantarme más temprano. Por ello, ◊l es verdadera. En contraste, sea s la sentencia “Saltaré de la cama y flotaré 2 metros por encima del suelo”. Como l, ella también es falsa. Pero al contrario de l, ni siquiera es posible que sea verdadera. Ello violaría la ley de la gravedad. Por ello ◊s es falsa. Así que el valor de verdad de una sentencia, a, no determina aquel de ◊a: tanto l como s son falsas, pero ◊l es verdadera y ◊s es falsa. Similarmente, el valor de verdad de a no determina el valor de verdad de ◻a. Ahora, sea l la sentencia “Mañana me levantaré antes de las 8 a.m.”. Esto es verdadero, de hecho; pero no es necesariamente verdadero. Podría quedarme en la cama. Ahora sea s la sentencia “Si mañana en la mañana salto de la cama, me habré movido”. Ello también es verdadero, pero no hay modo de que ello pudiera ser falso. Ello es necesariamente verdadero. Por ello, l y s son verdaderas, pero una es necesariamente verdadera y la otra no.
Por tanto, los operadores modales son de un tipo muy diferente a cualquiera que hayamos visto hasta ahora. También son operadores muy importantes y a menudo desconcertantes. Para ilustrarlo, he aquí uno de los argumentos del fatalismo, dado por el otro de los dos filósofos más importantes de la antigua Grecia: Aristóteles.
El fatalismo es la creencia en que sea lo que sea que pase, ello debe haber pasado: ello no podía haber sido evitado. Cuando un ocurre un accidente, o muere una persona, no habría algo que se pudiera hacer para prevenirlo. El fatalismo es una perspectiva que les ha resultado atractiva a algunos. Cuando algo va mal, hay una cierta cantidad de confort derivado del pensamiento de que no podía haber sido de otro modo. Sin embargo, el fatalismo implica que me vea impotente de alterar lo que sucede, y ello parece, claramente, falso. Si hoy me vi involucrado en un accidente de tráfico, lo pude haber evitado, simplemente tomando una ruta diferente. Así es que ¿Cuál es el argumento de Aristóteles? Dice algo así (por ahora ignoremos las negritas; ya volveremos a ello).
6. Aristóteles (384-322 a. C.), el fundador de la lógica formal.
Tómese cualquier afirmación, la que se quiera -digamos, a modo de ilustración, que mañana me veré involucrado en un accidente de tráfico. Ahora, de pronto no sabremos si ello es verdadero o no, pero sabemos que o me veré involucrado en un accidente o no lo haré. Supóngase lo primero. Entonces, en realidad, me veré involucrado en un accidente de tráfico. Y si decir que me veré envuelto en un accidente es verdadero entonces no puede fallar el caso de que me vea envuelto en ello. Esto es, que debe ser el caso que me vea envuelto en ello. Supóngase, por otro lado, que, en realidad, mañana no me veré involucrado en un accidente de tráfico. Entonces decir que no me veré envuelto en un accidente de tráfico es verdadero; y si esto es así, no puede fallar el caso de que no me vea envuelto en un accidente. Esto es, debe ser el caso que no me vea envuelto en un accidente. Entonces, cualquiera de esas dos cosas que me pasen, deben pasarme. Esto es el fatalismo.
¿Qué decir sobre ello? Para responder, observemos la comprensión moderna estándar de los operadores modales. Suponemos que cualquier situación, s, viene equipada con una cantidad de posibilidades, esto es, situaciones que son posibles en tanto s sucede –para ser definitivo, digamos que sean situaciones que puedan surgir sin violar las leyes de la física. Así, si s es la situación en la que me encuentro actualmente (yo estando en México), mi poder estar dentro de una semana en Argentina, es una situación posible; mientras que mi poder estar en Alpha Centauri (a más de cuatro años luz de aquí) no lo es. Siguiendo a Leibniz, el filósofo y lógico del siglo XVII, los lógicos llaman a menudo, vistosamente, mundos posibles a tales posibilidades. Ahora, decir que ◊a (posiblemente es el caso que a) es verdadero en s, es como decir que a es, de hecho, verdadera en al menos uno de los mundos posibles asociados a s. Y decir que ◻a (necesariamente es el caso que a) es verdadero en s, es como decir que a es verdadero en todos los mundos posibles asociados a s. Es por ello que ◻ y ◊ no son funciones de verdad. Como a y b pueden tener el mismo valor de verdad en s, digamos F, pero pueden tener diferentes valores de verdad en los mundos asociados a s. Por ejemplo, a puede ser verdadera en uno de ellos (en s’, digamos), pero b puedo no ser verdadera en ninguno, como aquí:
s: a : F, b : F
Esta caracterización nos proporciona un modo de analizar las inferencias usando los operadores modales. Por ejemplo, considérese la inferencia:
◊a ◊b
◊(a ∧ b)
Ella es inválida. Para ver porqué, supóngase que las situaciones asociadas a s son s1 y s2, y sus valores de verdad son como sigue:
s: a : F, b : F
s1: a : V, b : F s2: a : F, b : V
a es V en s1; con ello, ◊a es verdadera en s. Similarmente, b es verdadera en s2; con ello ◊b es verdadera en s. Pero a ∧ b son verdaderas en mundos no asociados; con ello ◊ (a ∧ b) no es verdadera en s.
En contraste, la siguiente inferencia es válida:
◻a ◻b
◻(a ∧ b)
Pues si las premisas son verdaderas en la situación s, entonces a y b son verdaderas en todos los mundos asociados a s. Pero entonces a ∧ b es verdadera en todos esos mundos. Esto es ◻(a ∧ b) es verdadera en s.
Antes de que podamos volver a la cuestión de cómo esto impacta el argumento de Aristóteles, necesitamos hablar brevemente sobre otro operador lógico que aún no conocemos. Escribamos “si a entonces b” como a → b. Las sentencias con esta forma son llamadas condicionales, que serán tratadas a profundidad en el siguiente capítulo. Por ahora, todo lo que necesitamos notar es que la inferencia más importante en que los condicionales parecen estar implicados es esta:
a a → b
b
Por ejemplo, “Si ella hace ejercicio regularmente entonces ella está en forma. Ella hace ejercicio regularmente; por ello ella está en forma”. Los lógicos modernos llaman usualmente a esta inferencia con el nombre con el que fue bautizada por los lógicos medievales: modus ponens. Literalmente, esto significa “el método de posicionamiento” (No pregunten por qué).
Ahora, para el argumento de Aristóteles, necesitamos pensar un poco sobre los condicionales de la forma:
si a entonces no puede fallar ser el caso que b
Tales sentencias son, de hecho, ambiguas. Una cosa que pueden significar es que si a, en realidad, es verdadera, entonces b es necesariamente verdadera. Esto es, si a es verdadera en una situación de la que estamos hablando, s, entonces b es verdadera en todas las posibles situaciones asociadas a s. Podemos escribir esto como a → ◻b. La sentencia es usada de este modo cuando decimos cosas como: “No puedes cambiar el pasado. Si algo del pasado es verdadero, ahora no puede fallar en ser verdadero. No hay nada que hacer para cambiarlo: es irrevocable.”
El segundo significado de un condicional de la forma “si a entonces no puede fallar ser el caso que b”, es muy diferente. A menudo usamos esta forma de hablar para expresar el hecho de que b se sigue de a. Estaríamos usando sentencias como estas si dijéramos cosas como “Si Andy va a estar divorciado entonces no puede fallar el que esté casado”. No estamos diciendo que si Andy se va a divorciar, su matrimonio es irrevocable. Estamos diciendo que uno no se puede divorciar a menos de que esté casado. No hay situación posible en la cual se tenga una, pero no la otra. Esto es, en cualquier situación posible, si una es verdadera, también lo es la otra. Esto es, ◻(a → b) es verdadera.
Ahora, a → ◻b y ◻(a → b) significan cosas muy diferentes. Y, ciertamente, la primera no se sigue de la segunda. El mero hecho de que a → b sea verdadera en cualquier situación asociada a s, no significa que a → ◻b sea verdadera en s. Podría ser que a fuera verdadera en s, en tanto que ◻b no lo fuera: tanto a y b podría fallar en ser verdaderas en algún mundo asociado. O para dar un contraejemplo concreto: es necesariamente verdadero que si Andy se está divorciando, él está casado; pero ciertamente no es verdadero que si Andy se está divorciando el está necesariamente (irrevocablemente) casado.
Para, por fin, volver al argumento de Aristóteles considérese la sentencia que puse en negritas: “Si es verdadero decir que me veré involucrado en un accidente entonces no puede fallar ser el caso de que me veré involucrado”. Esta es exactamente la forma de la que recién hemos estado hablando. Por lo tanto ella es ambigua. El argumento conlleva esta ambigüedad. Si a es la sentencia “Es verdadero decir que me veré involucrado en un accidente” y b es la sentencia “Me veré involucrado (en un accidente de tráfico)”, entonces el condicional en negritas, es verdadero en este sentido:
1. ◻(a → b)
Necesariamente, si es verdadero decir algo, entonces ese algo es de hecho el caso. Pero lo que necesita ser establecido es:
2. a → ◻b.
Después de todo, el siguiente paso del argumento es precisamente inferir Nb a partir de a mediante el modus ponens. Pero como ya hemos visto, 2 no se sigue, para nada, de 1. Por tanto, el argumento de Aristóteles es inválido. Pero hay un argumento cercanamente relacionado que no puede ser solucionado tan fácil. Volvamos al ejemplo que hemos dado sobre cambiar el pasado. Parece ser verdad que si alguna afirmación sobre el pasado es verdadera, esta es necesariamente verdadera. Es imposible, ahora, que se convierta en falsa. La batalla de Hastings se peleó en 1066 y ahora no hay nada que uno pueda hacer para que haya sido peleada en 1067. Así, si p es alguna afirmación sobre el pasado, p → ◻p.
Ahora considérese alguna afirmación sobre el futuro. De nuevo, como ejemplo, que sea la afirmación de que mañana me veré involucrado en un accidente de tráfico. Supóngase que ello es verdadero. Entonces, si alguien afirmó esta sentencia hace 100 años, dijo la verdad. E incluso cuando de hecho nadie lo afirmara, si nadie lo hubiera afirmado, se hubiera dicho la verdad. Así, el que mañana me veré envuelto en un accidente de tráfico fue verdadero desde hace 100 años. Esta sentencia (p) es, ciertamente, una afirmación sobre el pasado, y por ello, dado que es verdadera, es necesariamente verdadera (Np).
Entonces debe ser necesariamente verdadero que mañana me veré envuelto en un accidente de tráfico. Pero eso fue sólo un ejemplo, el mismo razonamiento podría ser aplicado a cualquier cosa. Así, cualquier cosa que suceda, debe suceder. En este argumento del fatalismo no se comete la misma falacia (esto es, usar el mismo argumento inválido) que en el primer argumento dado. Entonces, después de todo ¿el fatalismo es verdadero?
Ideas principales del capítulo.
· Cada situación viene con una colección asociada de situaciones posibles.
· ◻a es verdadera en una situación, s, si a es verdadera en toda situación asociada a s.
· ◊a es verdadera en una situación, s, si a es verdadera en alguna situación asociada a s.
