5. Auto-referencia: ¿De Qué Trata Este Capítulo?
A veces, las cosas parecen simples cuando uno piensa en los casos normales; pero esto puede ser engañoso. Cuando uno considera casos más inusuales, esa simplicidad puede muy bien desaparecer. Así pasa con la referencia. En el capítulo pasado vimos que las cosas no son tan sencillas como uno podría suponer, una vez que uno toma en cuenta el hecho de que algunos nombres pueden no referirse a algo. Una complejidad mayor surge cuando consideramos otro tipo de casos inusuales: la auto-referencia.
Para un nombre, es muy posible, referirse a algo de lo cual, él mismo, es parte. Por ejemplo, considérese la sentencia “esta sentencia contiene cinco palabras”. El nombre que es el sujeto de esta sentencia “esta sentencia”, se refiere a la sentencia completa, de la cual el nombre es una parte. Algo similar ocurre en un conjunto de regulaciones que contenga la clausula “Estas regulaciones deben ser revisadas por una decisión mayoritaria del Departamento de Filosofía” o cuando una persona piensa “si estoy teniendo este pensamiento, entonces debo estar consciente”.
Esto son casos de auto-referencia relativamente no problemáticos. Hay otros casos muy diferentes. Por ejemplo, supóngase que alguien dice:
Esta sentencia que ahora afirmo es falsa.
Llamemos a esta sentencia λ. ¿λ es verdadera o falsa? Bueno, si es verdadera, entonces lo que dice es el caso, de modo que λ es falsa. Pero si es falsa, dado que eso es exactamente lo que afirma, entonces es verdadera. En cualquiera de los casos, λ parece ser tanto verdadera como falsa. Esta sentencia es como la cinta de Möebius, una configuración topológica donde, debido a una torsión, el interior es el exterior y el exterior es el interior: la verdad es falsedad y la falsedad, verdad.
O supóngase que alguien dice:
Esta sentencia que ahora afirmo es verdadera.
¿Es verdadera o falsa? Bueno, si es verdadera, es verdadera, dado que eso es lo que dice. Y si es falsa, entonces es falsa, dado que dice que es verdadera. Por lo tanto, tanto la asunción de que es verdadera como la asunción de que es falsa parecen ser consistentes. Y aun más, parece no haber otro hecho que resuelva la cuestión de qué valor de verdad pudiera tener. Y no es sólo que tenga algún valor que no conozcamos o no podamos conocer. Más bien, parece no haber algo que determine, del todo, el que la sentencia sea verdadera o falsa. Parece no ser ni verdadera ni falsa.
Estas paradojas son muy antiguas. La primera de ellas parece haber sido descubierta por el filósofo griego de la antigüedad, Eubulides, y es llamada a menudo, la paradoja del mentiroso. Hay muchas más paradojas del mismo tipo, y más recientes, que juegan un rol crucial en partes centrales del pensamiento matemático. He aquí otro ejemplo. Un conjunto es una colección de objetos. Así, por ejemplo, uno puede tener el conjunto de todas las personas, el conjunto de todos los números, el conjunto de todas las ideas abstractas. Los conjuntos pueden ser miembros de otros conjuntos. Así, por ejemplo, el conjunto de todas las personas en un cuarto es un conjunto, y por tanto es un miembro del conjunto de todos los conjuntos. Algunos conjuntos pueden ser, incluso, miembros de sí mismos: el conjunto de todos los objetos mencionados en esta página es un objeto mencionado en esta página (acabo de mencionarlo), y por ello un miembro de sí mismo; el conjunto de todos los conjuntos es un conjunto, y por ello un miembro de sí mismo. Algunos conjuntos no son, ciertamente, miembros de sí mismos: el conjunto de todas las personas no es una persona y por ello no es un miembro del conjunto de todas las personas.
5. Una banda de Möbius. El interior está en el exterior y el exterior, adentro. La verdad es falsedad y la falsedad, verdad.
Ahora considérese el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Llamémoslo R. ¿R es miembro de sí mismo o no lo es? Si es miembro de sí mismo entonces es una de los objetos que no son miembro de sí mismos y por ello, no es miembro de sí mismo. Si, por otro lado, no es un miembro de sí mismo, es uno de esos conjuntos que no son miembros de sí mismos y por ello es un miembro de sí mismo. Se puede ver que R es y no es miembro de sí mismo.
Esta paradoja fue descubierta por Bertrand Russell, a quién conocimos en el capítulo pasado, y por ello es llamada la paradoja de Russell. Como la paradoja del mentiroso, esta tiene una prima. Qué pasa con el conjunto de todos los conjuntos que son miembros de sí mismo. ¿Es miembro de sí mismo o no? Bueno, si es, es; si no, no lo es. De nuevo parece no haber algo que determine que sea de un modo u otro.
Lo que hacen ejemplos de este tipo, es retar la asunción que hicimos en el capítulo 2 de que cualquier sentencia es o verdadera o falsa pero no ambas. “Esta sentencia es falsa” y “R no es miembro de sí mismo” parecen ser tanto verdaderas como falsas. Y sus primas parecen no ser ni verdaderas ni falsas.
¿Cómo podemos acomodar estas ideas? Simplemente, contando con esas otras posibilidades. Asumiendo que en alguna situación, cualquier sentencia es verdadera pero no falsa, falsa pero no verdadera, tanto verdadera como falsa o ni verdadera ni falsa. Recordemos del capítulo 2 que las condiciones de verdad para la negación, conjunción y disyunción son como sigue. En alguna situación:
¬a tiene el valor V solo si a tiene el valor F.
¬a tiene el valor F solo si a tiene el valor V.
a ∧ b tiene el valor V solo si ambas conjuntas tienen el valor V.
a ∧ b tiene el valor F solo si al menos una de las conjuntas tienen el valor F.
a ∨ b tiene el valor V solo si al menos una de las disyuntas tiene el valor V.
a ∨ b tiene el valor F solo si ambas disyuntas tienen el valor F.
Usando esta información, es fácil desarrollar los valores de verdad de las sentencias bajo el nuevo régimen. Por ejemplo:
- Supóngase que a es F pero no es V. Entonces, dado que a es F, ¬a es V (por la primera cláusula de la negación). Y dado que a no es V, ¬a no es F (por la segunda cláusula de la negación). Por ello, ¬a es V pero no es F.
- Supóngase que a es V y F, y que b es sólo V. Entonces tanto a como b son V y por ello a ∧ b es V (por la primera clausulas de la conjunción). Pero como a es F, al menos una de a y b es F, por ello a ∧ b es F (por la segunda clausula de la conjunción). Por ello, a ∧ b es tanto V como F.
- Supóngase que a es sólo V y que b no es ni V ni F. Entonces dado que a es V, al menos una de a y b es V, y con ello a ∨ b es V (por la primera clausula de la disyunción). Pero dado que a no es F, entonces no es el caso que tanto a como b sean F. Por ello a ∨ b no es F (por la segunda clausula de la disyunción). Por tanto, a ∨ b es sólo V.
¿Qué nos dice esto sobre la validez? Un argumento válido es, todavía, un en el cual no haya una situación en la que siendo las premisas verdaderas, la conclusión no lo sea. Y una situación es, todavía, lo que le asigna un valor de verdad a cada una de las sentencias relevantes. Sólo que ahora, en una situación se puede asignar, a cada sentencia, uno, dos o ningún valor. Así que considérese la inferencia q/q ∨ p. En cualquier situación en la que q tenga el valor V, las condiciones para ∨ nos aseguran que q ∨ p también tiene el valor V (puede también tener el valor F, pero ahora no importa). Así si la premisa tiene el valor V, así también la conclusión. La inferencia es válida.
En este punto, bien vale la pena devolvernos a la inferencia con que comenzamos el capítulo 2: q, ¬q/p. Como vimos en aquel capítulo, dadas las asunciones hechas allá, la inferencia es válida. Pero dadas las nuevas asunciones, las cosas han cambiado. Para ver porqué, tomemos una situación en la que q tenga el valor V y F, pero p solo tenga el valor F. Dado que q es tanto V como F, ¬q también es tanto V como F. Por ello, ambas premisas son V (así como F, pero eso no es relevante), y la conclusión p, no es V. Ello nos da otro diagnóstico de porqué encontramos a esta inferencia, intuitivamente inválida. Ella es inválida.
Ese no es el final del asunto, sin embargo. Como vimos en el capítulo 2, esta inferencia se sigue de de otras dos inferencias. Acabamos de ver que la primera, (q/q ∨ p), es válida según las nuevas consideraciones. Por consiguiente, la otra debe ser inválida, y lo es. La otra inferencia es:
q ∨ p ¬q
p
Ahora considérese una situación donde a q se le asignan los valores V y F, y a p sólo el valor F. Es fácil notar que ambas premisas obtienen el valor V (sí como el de F). Pero la conclusión nunca adquiere el valor V. Por tanto, la inferencia es inválida.
En el capítulo 2, se dijo que esta inferencia parecía, intuitivamente, válida. Por ello, dadas las nuevas consideraciones, nuestras intuiciones deben estar equivocadas. De todos modos, un puede dar una explicación del hecho. Esta inferencia parece válida porque, si ¬q es verdadera, ello parece eliminar el que q sea verdadera, dejándonos con p. Pero bajo la presente consideración, que ¬q sea verdadera no desecha el que q también lo sea. Lo haría sólo si algo pudiera no ser tanto verdadero como falso. Cuando pensamos que la inferencia es válida, probablemente es que hemos olvidado tales posibilidades, que surgen en caso inusuales, como aquellos que provee la auto-referencia.
¿Cuál explicación de la situación es mejor? ¿Aquella con la que se terminó el capítulo 2 o la que tenemos ahora? Esas son cuestiones que dejaremos para reflexionar. Mejor terminemos notando que, como siempre, uno podría retar algunas de las ideas en que la nueva consideración descansa. Considérese la paradoja del mentiroso y su prima. Tomemos la última primero. La sentencia “Esta sentencia es verdadera” supone ser un ejemplo de algo que no es ni verdadero ni falso. Supongamos que es así. Entonces, en particular, no es verdadera. Pero ella, en sí misma, dice que es verdadera. Por ello debe ser falsa, contrario a la suposición de que no es ni verdadera ni falsa. Parece que hemos terminado en contradicción. O tomemos la sentencia del mentiroso, “Esta sentencia es falsa”. Esta supone ser un ejemplo de una sentencia que es tanto verdadera como falsa. Modifiquémosla un tanto. Considérese en su lugar “Esta sentencia no es verdadera”. ¿Cuál es el valor de verdad de ella? Si es verdadera, entonces lo que dice es el caso; por ello no es verdadera. Pero si no es verdadera, entonces, dado que eso es lo que dice, es verdadera. De cualquier modo, parece ser tanto verdadera como no verdadera. De nuevo, tenemos una contradicción entre manos. No es sólo que una sentencia pueda tomar los valores V y F; más bien, una sentencia puede ser ambas cosas, puede ser verdadera y puede no ser verdadera.
Son situaciones de este tipo las que han hecho al tema de la auto-referencia, objeto de controversia, aun desde el tiempo de Eubúlides. Este es, de hecho, un tema muy enredado.
Ideas principales del capítulo.
- Las sentencias pueden ser verdaderas, falsas, verdaderas y falsas o ni verdaderas ni falsas.
Graham Priest, Logic A very short introduction, 2000, 2006 (Traducción propia).
