2. Funciones de Verdad -¿O No?
Ya sea que las reglas de validez estén fuertemente unidas a nosotros o no, todos tenemos intuiciones muy fuertes sobre la validez o sobre algún tipo de inferencia. No habrá desacuerdo, por ejemplo, en que la siguiente inferencia es válida: ‘ella es mujer y es banquera; así es que es banquera’. O que la siguiente inferencia es inválida: ‘él es carpintero; así es que es carpintero y juega futbol’.
Pero nuestras intuiciones, a veces, nos meten en problemas. ¿Qué piensas de la siguiente inferencia? Las dos premisas se ponen sobre la línea, la conclusión debajo.
La Reina es rica. La reina no es rica.
Los puercos pueden volar.
Ciertamente que no parece válida. El bienestar de la reina –grande o no- no parece tener nada que ver con las habilidades voladoras de los cerdos.
Pero. ¿Qué piensas de las siguientes dos inferencias?
O la reina es rica o los puercos pueden volar.
O la reina es rica o los puercos pueden volar. La reina no es rica.
Los puercos pueden volar.
La primera de ellas parece válida. Consideremos su conclusión. Los lógicos llaman disyunciones a este tipo de sentencias; y las sentencias a cada lado de la ‘o’ son llamadas disyuntas. Ahora. ¿Qué se requiere para que una disyunción sea verdadera? Sólo que uno de los dos disyuntos sea verdadero. Así es que en cualquier situación donde la premisa sea verdadera, también lo es la conclusión. La segunda inferencia también se ve válida. Si uno u otro de los dos dichos es verdadero y uno de ellos no lo es, el otro lo debe ser.
Ahora, el problema es que poniendo juntas estas dos inferencias aparentemente válidas, obtenemos una inferencia aparentemente inválida, como esta:
La reina es rica.
O la reina es rica o los puercos pueden volar. La reina no es rica.
Los puercos pueden volar.
No puede estar bien. Relacionar las inferencias válidas de este modo no puede resultarte en una inferencia inválida. Si todas las premisas son verdaderas en cualquier situación, entonces también lo son sus conclusiones, las conclusiones que se siguen de ellas; y así, hasta la conclusión final. ¿Cuál ha sido el error?
Para dar una respuesta ortodoxa a la cuestión, enfoquémonos un poco más en los detalles. Para comenzar, vamos a escribir la sentencia ‘Los puercos pueden volar’ como p, y la sentencia ‘La Reina es rica’ como q. Esto compacta un poco las cosas, pero no sólo eso: si lo piensas un momento, puedes ver que las dos sentencias particulares usadas en nuestro ejemplo, no tienen demasiado que ver; pude haber puesto todo el ejemplo usando cualquier par de sentencias; así es que podemos ignorar su contenido. Esto es lo que hacemos cuando escribimos las sentencias como simples letras.
La sentencia ‘O la reina es rica o los puercos pueden volar’ ahora se vuelve ‘q o p’. Los lógicos a menudo escriben esto como q ∨ p. ¿Qué pasa con ‘La reina no es rica’? reescribamos esto como ‘No es el caso que la Reina es rica’, poniendo la partícula negativa al principio de la sentencia. Entonces, la sentencia queda como ‘No es el caso que q’. Los lógicos a menudo escriben esto como ¬q, y la llaman la negación de q. Ya que estamos en eso, ¿qué pasa con la sentencia ‘La Reina es rica y Los puercos pueden volar’? Esto es, q y p. Los lógicos a menudo escriben esto como q ∧ p y llaman a ello la conjunción de q y p, siendo q y p las sentencias conjuntas. Con esta maquinaria en nuestro poder, podemos reescribir nuestra cadena-inferencia, así:
q
q ∨ p ¬q
p
¿Qué tenemos para decir sobre esta inferencia?
Las sentencias pueden ser verdaderas y las sentencias pueden ser falsas. Usemos V por verdad y F por falsedad. Después del trabajo realizado por uno de los fundadores de la lógica moderna, el filósofo/matemático alemán Gottlob Frege, ellos son a menudo llamados valores de verdad. Dada cualquier sentencia a ¿Cuál es la relación entre el valor de verdad de a y su negación, ¬a? La respuesta natural es que si una es verdadera, la otra es falsa y viceversa. Así, si la sentencia ‘La reina es rica’ es verdadera, ‘La reina no es rica’ es falsa y viceversa. Podemos decirlo como sigue:
¬a tiene el valor V solo si a tiene el valor F.
¬a tiene el valor F solo si a tiene el valor V.
Los lógicos llaman a estas las condiciones de verdad para la negación. Si asumimos que toda sentencia es o verdadera o falsa, pero no ambas, podemos poner esas condiciones en la tabla siguiente, que los lógicos llaman una tabla de verdad:
a | ¬a |
V | F |
F | V |
Gottlob Frege (1848-1925), uno de los fundadores de la lógica moderna.
Si a tiene el valor de verdad dado en su columna, ¬a tiene su valor correspondiente en la suya (a la derecha de la columna de a).
¿Qué hay sobre la disyunción, ∨? Como se había dicho ya, la asunción natural es que una disyunción a ∨ b es verdadera, si una u otra (o tal vez ambas) de ellas es verdadera y falsa en caso contrario. Podemos constatarlo en las condiciones de verdad de la disyunción:
a ∨ b tiene el valor V solo si al menos una de las disyuntas tiene el valor V.
a ∨ b tiene el valor F solo si ambas disyuntas tienen el valor F.
Estas condiciones pueden ponerse en una tabla de verdad como la que sigue:
a | b | a ∨ b |
V | V | V |
V | F | V |
F | V | V |
F | F | F |
Cada fila –excepto la primera, que es el encabezado- ahora muestra una posible combinación de valores de a (la primer columna) y b (la segunda columna). Hay cuatro posibles combinaciones y por tanto cuatro filas. Para cada combinación, el correspondiente valor para a ∨ b es dado a la derecha (en la tercer columna).
De nuevo, ya que andamos en esto, ¿Cuál es la relación entre los valores de verdad de a y b, en a ∧ b? La asunción natural es que a ∧ b es verdadera si ambas a y b son verdaderas, y falsa en caso contrario. Así, por ejemplo, la sentencia ‘Juan tiene 35 y Juan tiene el cabello café’ es verdadera solo si ‘Juan tiene 35’ y ‘Juan tiene el cabello café’ son ambas verdaderas. Podemos anotar las condiciones de verdad de la disyunción:
a ∧ b tiene el valor V solo si ambas conjuntas tienen el valor V.
a ∧ b tiene el valor F solo si al menos una de las conjuntas tienen el valor F.
Estas condiciones pueden ser mostradas en una tabla de verdad como la que sigue:
a | b | a ∧ b |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | F |
Ahora. ¿Qué tiene que ver todo esto con nuestro problema inicial? Volvamos a la cuestión que se planteó al final de capitulo pasado: ¿Qué es una situación? Un pensamiento natural es que sea lo que sea una situación, ella determina un valor de verdad para cada sentencia. Así es que, por ejemplo, en una situación particular, la sentencia ‘La Reina es rica’ podría ser verdadera y falsa ‘Los puercos pueden volar’. En otra podría ser al revés (¡nótese que tales situaciones son puramente hipotéticas!). En otras palabras, una situación determina un valor de verdad para cada sentencia relevante. Aquí las sentencias relevantes son simples, no contienen ‘y’, ‘o’ ni ‘no’. Dada la información básica sobre la situación, podemos usar las tablas de verdad para obtener los valores de verdad de nuevas sentencias a partir de las básicas.
Por ejemplo, supongamos que tenemos la siguiente situación:
p: V |
q: F |
r: V |
(r podría ser la sentencia ‘El ruibarbo es nutritivo’, ‘p: V’ significa que a p se le ha asignado el valor de verdad V, etc.…) ¿Cuál sería entonces el valor de verdad de, digamos, p ∧ (¬r ∨ q)? Obtenemos su valor de verdad exactamente del mismo modo que obtendríamos el valor numérico de 3 * (-6 + 2) usando tablas de adición y multiplicación. El valor de verdad de r es V. Entonces, la tabla para ¬ nos dice que el valor de verdad de ¬r es F. Pero dado que el valor de q es F, la tabla de verdad para ∨ nos dice que el valor de verdad para ¬r ∨ q es F. y como el valor de verdad de p es V, la tabla de verdad para ∧ nos dice que el valor de verdad de p ∧ (¬r ∨ q) es F. en este camino paso a paso, podemos obtener el valor de verdad de cualquier fórmula que contenga ∧, ∨ o ¬.
Ahora, recordemos la definición dada en el capítulo pasado de que una inferencia es válida cuando no hay una situación en la cual todas las premisas sean verdaderas y la conclusión sea no verdadera (o falsa). Esto es, es válida si es imposible asignar valores de verdad a las sentencias relevantes de modo que resultara que siendo todas las premisas verdaderas (tuvieran asignado el valor V), la conclusión fuera falsa (tuviera asignado el valor F). Consideremos ahora, por ejemplo, la inferencia que habíamos visto ya: p / q ∨ p (esta vez lo puse en un solo renglón para ahorrarle dinero a la editorial). Las sentencia relevantes son p y q. Hay cuatro combinaciones de valores de verdad y para cada uno de ellos podemos los valores de verdad de las premisas y la conclusión. Podemos representar el resultado como sigue:
q | p | q | q ∨ p |
V | V | V | V |
V | F | V | V |
F | V | F | V |
F | F | F | F |
Las primeras dos columnas contienen todas las posibles combinaciones de valor de verdad de p y q. Las últimas dos contienen los correspondientes valores de verdad para la premisa y la conclusión. La tercera columna es la misma que la primera. Esto es un accidente de este ejemplo, debida al hecho de que, en este caso particular, la premisa es también una de las sentencias relevantes. La columna cuarta puede ser obtenida de la tabla de verdad para la disyunción. Dada esta información podemos ver que la inferencia es válida. Dado que no hay ninguna fila donde la premisa, q, sea verdadera y la conclusión, q ∨ p, no.
¿Qué hay sobre la inferencia q ∨ p, ¬q / p? Procediendo del mismo modo obtenemos:
q | p | q ∨ p | ¬q | p |
V | V | V | F | V |
V | F | V | F | F |
F | V | V | V | V |
F | F | F | V | F |
Esta vez hay cinco columnas, dado que hay dos premisas. Los valores de verdad de las premisas y la conclusión pueden ser tomados de las tablas de verdad para la disyunción y la negación. Y de nuevo, no hay ninguna fila donde las premisas sean verdaderas y la conclusión, no. Por lo tanto, la inferencia es válida.
¿Y sobre la inferencia con la que comenzamos: q, ¬q / p? Procediendo igual que antes, se obtiene:
q | p | q | ¬q | p |
V | V | V | F | V |
V | F | V | F | F |
F | V | F | V | V |
F | F | F | V | F |
De nuevo la inferencia es válida; y ahora vemos porqué. No hay ninguna columna en la cual ambas premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa. ¡Al final, la conclusión realmente no importa! Algunas veces, los lógicos describen esta situación diciendo que la inferencia es vacuamente válida, dado el hecho de que las premisas nunca pueden ser verdaderas a la vez.
Aquí hay, entonces, una solución a nuestro problema inicial. De acuerdo a esta explicación, nuestra intuición general sobre la inferencia era equivocada. Después de todo, la intuición de las personas puede a menudo verse engañada. A cualquiera le parece obvio que la tierra no se mueve –hasta que se toma un curso de física y se da uno cuenta de que realmente se encuentra rodando por todo el espacio. Podemos incluso ofrecer una explicación de porque nuestras intuiciones lógicas son equivocadas. La mayoría de las inferencias que tenemos en la práctica no son del tipo vacuo. Nuestras intuiciones son desarrolladas en este tipo de contexto y no aplican en lo general –justo como el hábito construido cuando se aprende a caminar (y por ejemplo, no irse de costado) no siempre es aplicable en otros contextos (por ejemplo, cuando se aprende a andar en bici).
Ya volveremos a esta discusión en capítulo posterior. Pero terminemos en este momento dando un breve vistazo a la adecuación de la maquinaria que hemos usado. Las cosas en este punto no son tan simples y directas como uno podría tener la esperanza. De acuerdo con la explicación, el valor de verdad de la sentencia ¬a es completamente determinado por el valor de verdad de a. De modo similar, el valor de verdad de las sentencias a ∨ b y a ∧ b están completamente determinadas por los valores de verdad de a y b. Los lógicos llaman a este tipo de operaciones, que trabajan de este modo, funciones de verdad. Pero hay buenas razones para suponer que ‘o’ y ‘y’, como ocurre en el castellano, no son funciones de verdad –al menos, no siempre.
Por ejemplo, de acuerdo a la tabla de verdad de para ∧, ‘a y b’ tiene siempre el mismo valer de verdad que ‘b y a’: o sea, ambos son verdaderos si a y b son ambos, también, verdaderos. Pero considérense las sentencias:
1. Juan se golpeó la cabeza y se cayó.
2. Juan se cayó y se golpeó la cabeza.
La primera dice que Juan se golpeó la cabeza y luego se cayó. La segunda dice que Juan se cayó y entonces se golpeó la cabeza. Claramente, la primera pudiera ser verdadera mientras que la segunda falsa, y viceversa. Así, no solo es importante el valor de verdad de las conjuntas, sino también cual conjunta causó a la otra.
Similares problemas presenta el ‘o’. De acuerdo a la explicación que tenemos, ‘a o b’ es verdadera si una u otra de las disyuntas lo es. Pero supongamos que un amigo dice:
O vienes ahora o llegaremos tarde;
Y entonces vienes. Dada la tabla de verdad para ∨, la disyunción es verdadera. Pero supóngase que el amigo nos ha estado engañando: se hubiera podido retrasar uno, una media hora todavía y aun así estar a tiempo. En esas circunstancias, de seguro habríamos dicho que el amigo había mentido: que lo que había dicho era falso. De nuevo, lo importante no es solo el mero valor de verdad de las disyuntas, sino la existencia de una relación de cierto tipo entre ellas.
La maquinaria en cuestión resuelve sólo cierto tipo de inferencias; hay muchos otros tipos. Apenas hemos comenzado.
Ideas principales del capítulo.
· En una situación, un único valor de verdad (V o F) es asignado a cada sentencia relevante.
· ¬a es V solo si a es F.
· a ∨ b es V solo si al menos uno de ellos es V.
· a ∧ b es V solo si ambos son V.
Graham Priest, Logic A very short introduction, 2000, 2006 (Traducción propia).
Graham Priest, Logic A very short introduction, 2000, 2006 (Traducción propia).
