Definiciones: Lógica con sentido común.

1.1 

       · La Lógica es el estudio de los métodos y principios de la argumentación correcta. 

       · La Lógica formal es la lógica organizada como sistema formal. 

       · La Lógica informal es la lógica no organizada como sistema formal.

1.2.1

Un Argumento es un grupo de sentencias dadas tales que: 

     

      1. Algunas de esas sentencias son ofrecidas como razones para alguna de las otras sentencias,

      2. Las sentencias ofrecidas como razones son llamadas las premisas del argumento, 

      3. La sentencia para la cual las razones son dadas es llamada la conclusión del argumento. 

1.2.2

Un argumento es un argumento formalmente afirmado si y solo si: 

       

       1. Todas la sentencias son afirmaciones (i.e., sentencias que son verdaderas o falsas), 

       2. Todas y sólo las partes intencionalmente dadas del argumento son explícitamente afirmadas, 

       3. Tiene este formato: 

            · Todas las premisas se enlistan primero, 

            · Después, un indicador de inferencia (“entonces”), 

            · Después, la conclusión se enlista al final. 

      4. Un argumento formalmente afirmado puede estar acompañado por una demostración total o parcial       que provea una serie de conclusiones intermedias que muestran cómo las premisas están conectadas con la conclusión. 

1.2.3 

Un argumento es un argumento deductivo si y solo si: 

     · El que argumenta reconoce que la conexión entre premisas y conclusión se basa en las leyes de la lógica. 

Un argumento es un argumento inductivo si y sólo si: 

   ·· El que argumenta reconoce que la conexión entre premisas y conclusión está basada en probabilidades.

1.3.1 

Un argumento es un argumento válido si y sólo si: 

       · Hay una conexión conclusiva que conduzca de las premisas a la conclusión. 

De otro modo, el argumento es inválido.

1.3.2 

Un argumento es un argumento sólido si y sólo si: 

      Tanto 1. El argumento es válido, 

      Como 2. Todas las premisas son verdaderas. 

De otro modo, el argumento es no sólido. Comentario: un argumento sólido garantiza que la conclusión es verdadera. Un argumento no sólido deja la cuestión sin decidir.

1.3.3

1.4.1

Una sentencia p es posiblemente verdadera (es lógicamente posible, es posible) si y sólo si:  

             ·         Uno puede imaginar una situación en la cual p es verdadera, lo cual es lo mismo que:

             ·         La sentencia p no contiene una contradicción al interior.

Una sentencia p es posiblemente falsa si y sólo si:

·         Uno puede imaginar una situación en la cual p es falsa.

Una sentencia o es tanto posiblemente verdadera como posiblemente falsa si y sólo si:

·         Uno puede imaginar una situación en la cual p es verdadera, y uno también puede imaginar una situación en la cual p es falsa.

1.4.2

Una sentencia p es necesariamente verdadera (es necesaria) si y sólo si:

·         En toda situación imaginable, p es verdadera, lo que es lo mismo que:

·         Uno no puede imaginar una situación en la que p es falsa.

Una sentencia p es necesariamente falsa (es imposible) si y sólo si:

             ·         En toda situación imaginable, p es falsa, lo que es lo mismo que:

             ·         Uno no puede imaginar una situación en la que p es verdadera.

1.4.3

Una sentencia p es empírica (es contingente) si y sólo si:

           ·         La sentencia p no es necesariamente verdadera, y la sentencia p no es necesariamente falsa, lo que es lo mismo que:

           ·         Uno puede imaginar que la sentencia p es verdadera, y uno puede imaginar que la sentencia p es falsa.

Una sentencia p es empíricamente verdadera si y sólo si:

           ·         La sentencia p es empírica, y la sentencia p es verdadera en el mundo real.

 Una sentencia p es empíricamente falsa si y sólo si:

           ·         La sentencia p es empírica, y la sentencia p es falsa en el mundo real.

1.4.4

1.5.1

Un argumento es una prueba (de su conclusión) si y sólo si:

          ·         Se sabe que el argumento es sólido, esto es:

1.      Se sabe que el argumento es válido, y

2.      Se sabe que todas las premisas son verdaderas.

1.5.2

Un argumento es un argumento erróneo (o falso) si y sólo si:

         ·         Se sabe que el argumento es no sólido, esto es:

1.      Se sabe que el argumento es inválido, O

2.      Se sabe que alguna de las premisas es falsa.

1.5.3

Un argumento es un argumento inconcluso si y sólo si:

         ·         No se sabe si el argumento es sólido, y además:

         ·         No se sabe si el argumento es no sólido; esto es:

1.      Se sabe que el argumento es válido; pero

2.      No se sabe si todas las premisas son verdaderas, además de que,

3.      No se sabe si alguna de las premisas es falsa,

Esto es, al menos una de las premisas es cuestionable.

1.5.4

1.6.1 

Un argumento es un deductivamente válido si y sólo si:

          1.      No es lógicamente posible que

          (todas las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa)

          2.      No es imaginable que

          (todas las premisas sean verdaderas y  la conclusión sea falsa)

1.6.2

Un argumento inductivo tiene una conexión cuyo grado de fuerza es definido por el grado de probabilidad (%) que la conclusión tiene en relación con las premisas:

                Inferencia muy débil (5%)

                Inferencia débil (25%)

                Inferencia algo fuerte (51%)

    Inferencia medio fuerte (75%)

    Inferencia muy fuerte (99%)

    Inferencia conclusiva (100%)

1.6.3

Una inferencia es inductivamente válida si y sólo si:

                La conclusión tiene un 100% de probabilidad relativa a las premisas.

1.6.4

Un argumento inductivo es convincente si y sólo si:

   1. Se sabe que todas las premisas son verdaderas, y

   2. La conclusión tiene un grado fuerte de probabilidades (51% o más) relativo a las premisas.

De otro modo, el argumento es no convincente.

Arnold vander Nat - Simple Formal Logic With Common-Sense Symbolic Techniques - Routledge - 2010 (Traducción propia, 2011).

Modos del ser: Lenguaje, Pensamiento, Realidad: Formal Onntology & Conceptual Realism.

Chapter 1 Formal Ontology and Conceptual Realism

Summary and Concluding Remarks

• Metaphysics consists of the separate disciplines of ontology and cosmology, each with their respective methodologies.

• Formal ontology connects logical categories -especially the categories involved in predication- with ontological categories.

• The goal of a formal ontology is the construction of a lingua philosophica, or characteristica universalis, as explicated in terms of an ars combinatoria and a calculus ratiocinator as part of a formal theory of predication.

• A formal ontology should serve as the framework of a characteristica realis, and hence as the basis of a formal approach to science and cosmology. It should also serve as a framework for our commonsense understanding of the world.

• The central feature of a formal ontology is how it represents the nexus of predication, which depends on what theory of universals it assumes.

• The three main theories of universals are nominalism, conceptuallism, and (logical or natural) realism.

• The analysis of the fundamental forms of predication of a formal ontology may be directed upon the structure of reality or upon the structure of thought.

• Natural realism, and in particular Aristotle’s ontology, is directed upon the structure of the natural world, and the preeminent mode of being is that of concrete individual things, or primary substances. There are two major forms of natural realism, moderate realism and modal moderate realism.

• Aristotle’s moderate natural realism has two types of predication: predication of species and genera (natural kinds), and predication of properties and relations.

• Kant’s and Husserl’s categorial analyses, unlike Aristotle’s, are directed upon the structure of thought and experience rather than upon the structure of reality. The categories function on this account to articulate the logical forms of judgments and not as the general causes or grounds of concrete being.

• Husserl’s formal ontology is based on a transcendental logic in which the laws and rules of logic are justified in terms of subjective analyses of presumed a priori structures that provide the evidence for the objective versions of those laws and rules.

• There are two problems regarding the completeness of a formal ontology: first, the problem of the completeness of the categories of an ontology, and second, the problem of the completeness of the deductive laws that are based on those categories.

• Set theory provides only an external semantics for a formal ontology, unless that ontology is set theory itself, which has no nexus of predication, and hence strictly speaking is not a formal ontology. An incompleteness theorem for a formal ontology based a set-theoretic semantics need not show that the ontology is incomplete with respect to an internal semantics. In particular, sometimes general models are a better repesentation of a formal ontology’s internal semantics than are so-called “standard” models.

• Conceptual realism is a formal ontology framed within the context of a naturalistic epistemology and a naturalistic approach to the relations between language, thought, and reality as based on our scientific knowledge of the world.

• Conceptual realism is based on a conceptualist account of the speech and mental acts that underlie reference and predication. It is directed in that regard primarily upon the structure of thought. But, because its methodology is based on a linguistic and logical analysis of our speech and mental acts, it is not committed to a phenomenological reduction of those acts. Nor does it preclude such a reduction.

• Conceptual realism contains both a natural realism and an intensional realism, each of which can be developed as separate subsystems that are compatible within the larger framework, one containing a modern form of Aristotelian essentialism, and the other containing a modern counterpart of Platonism based on the intensional contents of our speech and mental acts.

Nino B. Cocchiarella - SYNTHESE LIBRARY 339 Formal Ontology and Conceptual Realism - Springer - 2007

Confesión, Exposición, Disculpa: Breve historia de las Paradojas.

…From what appears to be a safe distance, I see the inquirer crane his head for a better look, eventually placing one foot on one solid-looking principle and the other foot on a second principle that is actually incompatible with the first. In my eagerness to document his insecure footing, I risk misstep myself.... Sooner or later, I must share the fate of those I chronicle….

Roy Sorensen - A Brief History Of The Paradox Philosophy And The Labyrinths Of The Mind - Oxford University Press - 2003

Modelos del Ser: Formal Ontology, Introducción.

The history of philosophy is replete with different metaphysical schemes of the ontological structure of the world. These schemes have generally been described in informal, intuitive terms, and the arguments for and against them, including their consistency and adequacy as explanatory frameworks, have generally been given in even more informal terms. The goal of formal ontology is to correct for these deficiencies. By formally reconstructing an intuitive, informal ontological scheme as a formal ontology we can better determine the consistency and adequacy of that scheme; and then by comparing different reconstructed schemes with one another as formal ontologies we can better evaluate the arguments for and against them, and come to a decision as to which system it is best to adopt.

1. Formal Ontology

Formal ontology,… is a discipline in which the formal methods of mathematical logic are combined with the intuitive, philosophical analyses and principles of ontology, where by ontology we mean the study and analysis of being qua being, including in particular the different categories of being and how those categories are connected with the nexus of predication in language, thought and reality. The purpose of formal ontology is to bring together the clarity, precision and methodology of logical analyses on the one hand with the philosophical significance of ontological analyses on the other.

2. Time, Being and Existence

A criterion of adequacy for any formal ontology is that it should provide a logically perspicuous representation of our commonsense understanding of the world, and not just of our scientific understanding.

A second criterion of adequacy for a formal ontology is that it must explain and provide an ontological ground for the distinction between being and existence, or, if it rejects that distinction why it does so. Put simply, the problem is: Can there be things that do not exist? Or is being the same as existence? Different formal ontologies will answer these questions in different ways.

…the distinction between things that did exist, do exist, or will exist, or what in the proposed book we call realia, as opposed to existentia, which is restricted to the things that exist at the time we speak or think,…

3. Ontology and Modality

Another criterion of adequacy for a formal ontology is that it must explain the ontological grounds, or nature, of modality, i.e., of such modal notions as necessity and possibility.

The abstract intensional objects of conceptual realism, for example, do not exist as concrete objects, but, as we explain later, they also are not Platonic forms. They do not exist in an independent Platonic realm, in other words, but rather have a mode of being dependant upon the evolution of culture and consciousness.

4. Formal Theories of Predication

Comparative formal ontology is the preferable, if not also the proper, domain of many issues and disputes in metaphysics, epistemology, and the methodology of the deductive sciences. For just as the construction of a particular formal ontology lends clarity and precision to our informal categorical analyses and serves as a guide to our intuitions, so too comparative formal ontology can be developed so as to provide clear and precise criteria for constructing and comparing different formal ontologies so that ultimately we can make a rational decision about which such system we should ourselves adopt.

Different formal ontologies are primarily based on different formal theories of predication, which in turn are based on different theories of universals, the three most important being nominalism, conceptualism, and realism. A basic feature of a formal ontology, in other words, is a formal theory of predication based on a theory of universals. A key aspect of such a theory is how the categories of being, especially the category of objects and the category of universals, are related to one another, and how the unity of the nexus of predication is explained in terms of those categories. Such a categorial analysis indicates another basic feature of a formal ontology, namely, how it represents the categorial structure of the world, and in particular whether it can represent the categorial structure of our commonsense understanding of the world as well that of our scientific theories, without the two being in conflict. A formal ontology is not just a formal axiomatic development, in other words, but rather it is a system in which ontological categories are represented by logical categories, and ontological analyses by logical analyses.

Nominalism, which denies that there are any universals, whether real or conceptual, is logically the weakest formal ontology. From a logical point of view what is interesting about nominalism is the kind of constraint it imposes on a theory of predication. That constraint, however, has a more interesting counterpart in constructive conceptualism and represents an important stage of cognitive development, a stage that is an essential part of conceptualism and the more general framework of conceptual realism. The more general framework allows the constraint to be acknowledged and yet also transcended, whereas the similar constraint in nominalism leaves no room for such transcendence.

There is another reason as well, namely, that predication in language, which is the only form of predication acknowledged in nominalism, depends upon our cognitive capacity for language, including in particular our rule-following cognitive capacities underlying the use of referential and predicable expressions. A cognitive theory of predication is needed to explain predication in language, in other words, and that is precisely what the form of conceptualism we defend here is designed to do. In fact, the referential and predicable concepts of our form of conceptualism are none other than the rule-following cognitive capacities underlying the use of referential and predicable expressions, and the unity of the nexus of predication in conceptualism is what underlies and accounts for the unity of predication in language. Conceptualism is to be preferred over nominalism because, unlike the latter, which is based on an unexplained account of predication in language, it is framed in terms of a theory of predication, i.e., a theory of predication about the cognitive structure of our speech and mental acts, and therefore a theory of thought that underlies and explains predication in language.

5. Conceptual Realism

Conceptual realism, the system we think is best and have adopted, contains, in addition to a conceptualist theory of predication, an intensional realism that is based on a logic of nominalized predicates, and a natural realism that is based on a logic of natural kinds.

Unlike the a priori approach of the transcendental method, which claims to be independent of the laws of nature and our evolutionary history, i.e., of our status as biological beings with a culture and history that shapes our language and much of our thought, conceptual realism is framed within the context of a naturalistic epistemology and a naturalistic approach to the relation between language and thought, thought and reality, and our scientific knowledge of the world.

The realism part of conceptual realism, we have said, contains both a natural realism and an intensional realism, each of which can be developed as separate subsystems, and both of which are not only consistent in themselves but compatible with each other within the larger framework. We call these two subsystems conceptual natural realism and conceptual intensional realism. Conceptual natural realism represents a modal form of moderate realism, which, by being extended to include a logic of natural kinds, can be developed into a modern form of Aristotelian essentialism. Conceptual intensional realism, on the other hand, represents a modern counterpart of Platonism based on the intensional contents of our referential and predicable concepts. These two subsystems capture the more important ontological features of both logical realism and natural realism as theories of universals while also explaining our epistemic access to the abstract intensional objects of logical realism on the one hand and the natural kinds and natural properties and relations of natural realism on the other. The two subsystems are compatible in the larger framework of conceptual realism, as we have said, because each is constructed on the basis of a different logical aspect of that framework.

Conceptual intensional realism, for example, is based on a logical analysis of nominalized predicates and propositional forms as abstract singular terms, i.e., a logical analysis of the abstract nouns and nominal phrases that we use in describing the intensional contents of our speech and mental acts. The intensional objects that are denoted by these abstract singular terms serve the same purposes in conceptual intensional realism that abstract objects serve in logical realism as a modern form of Platonism. The difference is that, unlike Platonic Forms, the intensional objects of conceptual realism do not exist independently of mind and the natural world, the way they do in logical realism, but are products of the evolution of culture and language, and especially of the institutionalized linguistic practice of nominalization. In this way our epistemic grasp of abstract intensional objects is explained in terms of the concepts that underlie our rule-following cognitive capacities in the use of language.

The natural kinds and natural properties and relations of conceptual natural realism, on the other hand, are not intensional objects; and in fact they are not objects at all but are rather unsaturated causal structures that are complementary to the structures of natural kinds of things. Unlike conceptual intensional realism, which is based on the logic of nominalized predicates, and hence is directed upon an “object”-ification of predicable concepts, conceptual natural realism is directed upon the structure of reality and depends upon empirical assumptions as to whether or not there are natural properties or relations corresponding to particular predicable concepts, and similarly whether or not there are natural kinds corresponding to particular sortal common-name concepts.

6. Predication in Conceptual Realism

Conceptual realism, we have noted, is based upon a cognitive theory of predication, and referential and predicable concepts are in fact the rule-following cognitive capacities that underlie our use of referential and predicable expressions…. the nexus of predication in conceptual realism is the result of jointly exercising a referential and predicable concept as complementary cognitive structures, and as such it is what accounts for both predication in language and the unity of thought.

The theory also provides an account of complex predicate expressions that contain abstract noun phrases, such as infinitives and gerunds, and also complex predicate expressions with quantifier phrases occurring as direct-object expressions of transitive verbs. Conceptually,… the content of such a quantifier phrase and the referential concept it stands for is “object”-ified through a doubly reflexive abstraction that by deactivation and “nominalization” of the quantifier phrase first generates a predicable concept and then the intensional content of that predicable concept. All direct objects of speech and thought are intensionalized in this way so that a parallel analysis is given for both ‘Sofia finds a unicorn’ and for ‘Sofia seeks a unicorn’. And yet, relations, such as Finds, that are extensional in their second argument positions can still be distinguished from those that are not, such as Seeks, by appropriate meaning postulates.

The same doubly reflexive abstraction explains the three different types of expressions that represent the natural number concepts, namely first, as numerical quantifier phrases, such as ‘three dogs’, ‘two cats, ‘five chairs’, etc., then, second, as the cardinal number predicates ‘has n instances’, or ‘has n members’, and the third as the numerals ‘1’, ‘2’, ‘3’, etc., i.e., as objectual terms that purport to name the natural numbers as abstract objects.

Finally, the deactivation of referential expressions that is a part of this cognitive theory of predication is also involved in fictional discourse and in stories in general. The objects of fiction, on this account, are none other than the intensional objects that deactivated referential expressions denote as abstract objectual terms. This account of the ontology of fictional objects explains their “incompleteness” as well as their status as intensional content.

8…

Names, whether proper or common, occur as parts of quantifier phrases in the simple logic of names of our cognitive theory. In the broader theory of reference of conceptual realism, however, names, whether proper or common, can also be “nominalized”, i.e., transformed into objectual terms that can occur as arguments of predicates.

Semantically, such a logic is needed to account for irreducible forms of plural reference and predication. The well-known Geach sentence ‘Some critics admire only each other’, for example, which semantically says that there is a group of critics who admire only other members of the group, cannot be analyzed in first-order logic alone; and it would be both semantically and ontologically misleading to analyze it in terms of set theory. Unlike a set, a group in the sense intended here is a plurality of individuals and not an abstract object.

A logic of plurals is needed not just as a semantical framework for plural reference and predication in natural language and our commonsense framework, but, and perhaps more importantly, also for an ontological account of the properties of groups of objects in our scientific theories. The temperature and pressure of a volume of gas, for example, are really properties of the group of atoms or molecules in that volume rather than properties of the individual atoms or molecules that make it up. The visual, auditory, and other sensory properties of different modules of the brain are properties of the groups of neurons that make up those modules rather than of the individual neurons in the group. Similarly, the dispersion and redistribution of different populations of species of plants and animals are statistical properties of the groups of plants and animals and not of the individuals in those groups. Groups, which are classes as many of two or more objects, are plural objects, and as such they are values of the objectual variables in this ontology.

9…

Conceptualism and natural realism have a clear affinity for each other, even though they do not have the same overall logical structure. Conceptualism, for example, presupposes some form of natural realism as the causal ground of our capacity for language and thought, and natural realism presupposes conceptualism as a framework by which it can be articulated as a formal ontology. Historically, in fact, the two ontologies have often been confused with one another, so that sometimes it was said that a universal “exists” in a double way, one being in the mind and the other in things in the world. Abelard, for example, held that a universal “exists” first as a common likeness in things, and then as a concept that exists in the human intellect through the mind’s power to abstract from our perception of things by attending to the likeness in them. Aristotle is sometimes also said to have held such a view. Aquinas, however, was clear about the distinction and maintained that a concept and a natural property or natural kind are not really the same universal, and that in fact they do not even have the same mode of being.

10. Criteria of Adequacy

Criteria of adequacy for a formal ontology that we have indicated so far can be summarized as follows.

• A formal ontology must provide a logically perspicuous representation of our commonsense understanding of the world as well as our scientific understanding.

• A formal ontology must explain the distinction between being and existence, i.e., give an ontological grounding of that distinction, or if it denies the distinction then explain why it does so and why the result is an adequate ontological framework.

• A formal ontology should provide an ontological, and not just a set theoretical, account of modality.

• A formal ontology must explain the nature of predication in thought as well as in language and indicate what theory of universals is part of that explanation.

It is because conceptual realism fulfills these criteria of adequacy, as well as others indicated throughout this book, that it is the best formal ontology to adopt.

Nino B. Cocchiarella - SYNTHESE LIBRARY 339 Formal Ontology and Conceptual Realism - Springer - 2007

Lo mismo o no ¡Lógico!: Logic A very short introduction.

Identidad y cambio: ¿Es Cualquier Cosa Siempre La Misma?

No hemos terminado con el tiempo, aun. El tiempo está involucrado en varios otros enigmas, un tipo de los cuales observaremos en este capítulo. Este tipo concierne a los problemas que surgen cuando las cosas cambian; y específicamente, la cuestión de lo que se puede decir sobre la identidad de los objetos que cambian a través del tiempo.

He aquí un ejemplo. Todos pensamos que los objetos pueden sobrevivir a los cambios. Por ejemplo, cuando pinto el closet, a pesar de que su color pueda cambiar, aun sería el mismo closet. O cuando uno cambia de estilo de cabello, o si uno es tan desafortunado como para perder un miembro, uno sigue siendo uno mismo. ¿Pero cómo puede cualquier cosa sobrevivir al cambio? Después de todo, cuando uno cambia de estilo de cabello, la persona resultante es diferente, no es completamente igual. Y si la persona es diferente, es una persona diferente; de modo que el uno viejo ha dejado de existir. Exactamente del mismo modo, puede ser argüido, ningún objeto persiste al cambio, cualquiera que este sea. Dado que el cambio significa que el objeto viejo ha dejado de existir y es reemplazado  por un objeto muy diferente.

Argumentos como este aparecen en varios lugares de la historia de la filosofía, pero ahora, los lógicos  generalmente han coincidido en que ello es una equivocación que descansa en una simple ambigüedad. Debemos distinguir entre un objeto y sus propiedades. Cuando decimos que uno, con un diferente estilo de cabello, es diferente, estamos diciendo que uno tiene diferentes propiedades. De ello no se sigue  que uno sea una persona diferente, del modo en que yo soy diferente de ti.

Una de las razones por la que uno falla al distinguir entre un cierto objeto y unas ciertas propiedades es que, en español, el verbo “ser” y sus varias formas gramaticales -“es”, “soy”, y así- puede ser usado para expresar ambas cosas (y lo mismo pasa con palabras similares en otros idiomas). Si decimos “La mesa es roja”, “Ahora, tu cabello es corto” y cosas similares, le estamos atribuyendo propiedades a un objeto. Pero si alguien dice “Yo soy Graham Priest”, “La persona que ganó la carrera es la misma que el año pasado” y demás, entonces se está identificando un objeto de algún modo.

Los lógicos llaman al primer uso de “es” el “es” de predicación; al segundo uso de “es” lo llaman el  “es” de identidad. Y como ambas tienen propiedades un tanto diferentes, se escriben de modos diferentes. El “es” de predicación lo hemos conocido en el capítulo 3. “Juan es rojo” es típicamente escrito en la forma jR (de hecho, como se hizo notar en el capítulo 3, es más común escribirlo al revés, como Rj). El “es” de identidad es escrito con =, que nos es familiar desde las matemáticas escolares. Así, “Juan es la persona que ganó la carrera” se escribe: j = g (el nombre g es aquí una descripción, pero es irrelevante en esta explicación). Sentencias como esta con llamadas identidades.

¿Qué propiedades tiene la identidad? Primero, es una relación. Una relación es algo que relaciona dos objetos. Por ejemplo, ver es una relación. Si decimos, “Juan ve a María” estamos estableciendo una relación entre ambos. Los objetos relacionados por una relación, no necesariamente tienen que ser diferentes. Si decimos “Juan se ve a sí mismo” (tal vez en un espejo), estamos estableciendo una relación que Juan tiene con Juan. Ahora, la identidad es una relación muy especial. Es una relación que todo objeto tiene consigo mismo y nada más.

Se pudiera pensar que ello hace a la identidad una relación más bien inútil, pero, de hecho, no es así. Por ejemplo, si decimos “Juan es la persona que ganó la carrera”, estoy diciendo que la relación de identidad se sostiene entre el objeto referido por “Juan” y el objeto referido por “la persona que ganó la carrera” -en otras palabras, que esos dos nombre se refieren a una y la misma persona. Esta puede ser una pieza de información altamente significativa.

No obstante, la cosa más importante sobre la identidad, son las inferencias en las que está involucrada. He aquí un ejemplo:

Juan es la persona que ganó la carrera.

La persona que ganó la carrera obtuvo un premio.

Entonces Juan ganó un premio.

Podemos escribir esto como:

j = w    wP

jP

Esta inferencia es válida en virtud del hecho de que, para cualquier objeto, x y y, si x = y, entonces x tiene cualquier propiedad que y tenga, y viceversa. Uno y el mismo objeto, o tiene la propiedad en cuestión o no la tiene. Esta es usualmente llamada la ley de Leibniz, debida a Leibniz. A quién conocimos en el capítulo 6. En una aplicación de la ley de Leibniz, una premisa es una afirmación de identidad, digamos m = n; la segunda premisa es una sentencia que contiene uno de los nombres que flanquean en signo de identidad, digamos m; y la conclusión se obtiene sustituyendo n por m en ella.

9. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), el último lógico notable antes del periodo Moderno.

La ley de Leibniz es muy importante, y tiene muchas aplicaciones no problemáticas. Por ejemplo, el álgebra de preparatoria nos asegura que (x + y)(x – y) = x2 – y2. De modo que si se está resolviendo un problema, y se establece que, digamos, x2 – y2 = 3, se puede aplicar la ley de Leibniz para inferir que (x + y)(x – y) = 3. Sin embargo, su simplicidad engañosa esconde multitud de problemas. En particular, parece haber varios contraejemplos a ello. Considérese, por ejemplo, la siguiente inferencia:

Juan es la persona que ganó la carrera.

María sabe que la persona que ganó la carrera obtuvo un premio.

Entonces, María sabe que Juan obtuvo un premio.

Esta se ve como una aplicación de la ley de Leibniz dado que la conclusión se obtiene sustituyendo “Juan” por “la persona que ganó la carrera” en la segunda premisa. Aun así es claro que las premisas pueden muy bien ser verdaderas sin ser verdadera la conclusión: María podría no saber que Juan es la persona que ganó la carrera. ¿Es esta una violación a la ley de Leibniz? No necesariamente. La ley dice que si x = y entonces cualquier propiedad de x es propiedad de y. Ahora, ¿la condición “María sabe que x obtuvo un premio” expresa una propiedad de x? En realidad no: más bien parece expresar una propiedad de María. Si María desapareciera súbitamente de la existencia, ¡Ello no cambiaría para nada a x! (La lógica de frases tales como “sabe que”, se encuentran sub judice, aun hoy en Lógica).

Otra clase de problemas son como sigue. He aquí un camino, es un camino de asfalto, llamémoslo a. Y he aquí un camino, es un camino de tierra; llamémoslo t. Sin embargo, ambos caminos son el mismo, a = t. Es sólo que el asfalto no llega hasta el final del camino. De modo que la ley de Leibniz nos dice que a es un camino de tierra y t es un camino de asfalto. ¿Qué ha ido mal aquí? No podemos decir que el ser de tierra o de asfalto no son, en realidad, propiedades del camino. Ciertamente que lo son. Lo que  (se puede argüir que) ha ido mal, es esto: no estamos siendo suficientemente precisos en nuestra especificación de las propiedades. Las propiedades relevantes son ser de asfalto de tal a tal punto, y ser de tierra de tal a tal punto. Dado que a y t son el mismo camino, tiene ambas propiedades, y no hemos violado la ley de Leibniz.

Hasta aquí todo bien. Estos problemas son relativamente fáciles. Veamos ahora uno que no lo es. Y aquí, el tiempo vuelve a ser parte del tema. Para explicar cuál es el problema, nos será útil emplear los operadores temporales del capítulo pasado, y específicamente, V (Siempre va a ser el caso que). Sea x cualquier cosa que se quiera, un árbol, una persona; y considérese la afirmación x = x. Esto dice que x tiene la propiedad de ser idéntico a x -lo cual es absolutamente verdadero: ello es parte del mismo significado de identidad. Y ello es así, independientemente del tiempo. Es verdadero ahora, verdadero en todo el tiempo futuro y verdadero en todo el tiempo pasado. Entonces, en particular, Vx = x es verdadero. Ahora, he aquí una instancia de la ley de Leibniz:

x = y    Vx = x

Vx = y

(No olvidemos el hecho de que hemos sustituido y en sólo una de las ocurrencias de x en la segunda premisa. Tales aplicaciones de la ley de Leibniz tienen perfecto sentido. Sólo considérese: “Juan es la persona que ganó la carrera; Juan ve a Juan; entonces Juan ve a la persona que ganó la carrera”). Lo que la inferencia muestra es que si x es idéntica a y, y x tiene la propiedad de ser idéntica a x en todo tiempo futuro, también lo hace y. Y dado que la segunda premisa es verdadera, tal como lo hemos notado, se sigue que si dos cosas son idénticas, siempre serán idénticas.

¿Y qué con eso? Pues simplemente, que ello no siempre parece ser verdad. Por ejemplo, considérese una ameba. Las amebas son criaturas acuáticas unicelulares que se multiplican por fisión: una ameba se dividirá por el medio para convertirse en dos amebas. Ahora, tomemos una ameba, A, que se divide para convertirse en dos amebas, B y C. Antes de la división, tanto B como C eran A. Entonces, antes de la división, B = C. Sin embargo, después de la división, B y C son distintas amebas, ¬B = C. Entonces si dos cosas son la misma, no se sigue necesariamente que lo sean siempre.

No podemos escapar de este problema del mismo modo que lo hemos hecho de los previos. La propiedad de ser idéntico a x en todo el tiempo futuro es, ciertamente, una propiedad de x. Y no parece ser el caso que la propiedad insuficientemente fina. No parece haber un modo de hacerla más precisa y evitar el problema.

¿Qué más se puede decir? Un pensamiento natural es este. Antes de la división, B no era A: sólo era parte de A. Pero B es una ameba, y A es una criatura unicelular: no tiene partes que sean amebas. Entonces B no puede ser parte de A.

Más radicalmente, uno puede sugerir que B y C no existen en realidad antes de la división, es entonces cuando devienen existentes. Si no existían antes de la división, entonces no fueron A antes de la división. Entonces no es el caso que B = C antes de la división. Pero ello parece incorrecto también. B no es una nueva ameba; es simplemente A, aunque algunas de sus propiedades hayan cambiado. Si ello no es claro, sólo imagínese que C muriera en la división. En este caso, no vacilaríamos en decir que B es A (ello habría sido como una serpiente cambiando de piel). Ahora la identidad de algo no puede ser afectada por que haya otras cosas a su alrededor. Entonces A es B. Del mismo modo que A es C.

Por supuesto que, uno podría insistir en que sólo por el hecho de A tenga nuevas propiedades, es, estrictamente hablando, un nuevo objeto; no meramente un viejo objeto con nuevas propiedades. De modo que B no es realmente A. E igualmente C. Pero ahora estamos de vuelta en el problema con el cual comenzamos el capítulo.

Ideas principales del capítulo

m = n es verdadera sólo si los nombres m y n se refieren al mismo objeto.

Si dos objetos son el mismo, cualquier propiedad de uno es propiedad del otro (Ley de Leibniz).

Graham Priest, Logic A very short introduction, 2000, 2006 (Traducción propia).

Ello fue futuro y será pasado ¡Lógico!: Logic A very short introduction.

El futuro y el pasado: ¿El tiempo es real? 

El tiempo es una cosa con la cual todos estamos muy familiarizados. Planeamos hacer cosas en el futuro; recordamos cosas del pasado; y algunas veces simplemente disfrutamos de estar en el presente. Parte de nuestra ubicación en el tiempo se debe a que realizamos inferencias concernientes al tiempo. Por ejemplo, las dos siguientes inferencias son intuitivamente válidas:

Llueve.

Habrá estado lloviendo.

Será verdad que siempre ha estado lloviendo.

Llueve.

Todo esto parece elemental.

Pero tan pronto como uno comienza a pensar en el tiempo, uno parece enredarse entre nudos. Como Agustín dijo, si no se me pregunta qué es el tiempo, entonces lo sé muy bien; pero si se me pregunta, ceso de saberlo. Una de las cosas más complicadas del tiempo es que parece fluir. El presente parece moverse: primero es hoy; después es mañana; y así. ¿Pero cómo es que el tiempo cambia? El tiempo es lo que mide la razón a la que todo lo demás cambia. Este problema está en el corazón de muchos enigmas concernientes al tiempo. Uno de ellos fue reconocido, a principios del siglo XX, por el filósofo británico John McTaggart Ellis McTaggart (esto es correcto). Como muchos filósofos, McTaggart fue tentado por la idea de que el tiempo es irreal -que, en el último reducto de las cosas, el tiempo es una ilusión.

Para explicar el argumento de McTaggart aquí, nos ayudará tener un pequeño simbolismo. Tómese una sentencia en pasado, tal como “el sol brillaba”. Podemos expresar esto equivalentemente, aunque suene un tanto raro, como “fue el caso que el sol brilla”. Escribamos “fue el caso que” como P (de “pasado”). Entonces podemos escribir esta sentencia como “P el sol brilla”, o, simplemente Ps, escribiendo s por “el sol brilla”. Similarmente, tómese cualquier sentencia en futuro, digamos, “el sol brillará”. Podemos escribir esto como “Será el caso que el sol brille”. Si escribimos “Será el caso que” como F (por “futuro”), entonces podemos escribir esto como Fs (sin confundir esta F con el valor de verdad F).

P y F son operadores como ◻ y ◊, que se afijan a sentencias completas para generar sentencias completas. Y aun más, tal como ◻ y ◊, tampoco son funciones de verdad. “Son las 16:00 horas” y “Son las 16:00 horas, del 2 de agosto de 1999” son ambas verdaderas (en el momento en que escribo esto), “Van a ser las 16:00 horas” es también verdadera (en el instante presente) -dado que una vez al día son las 16:00 horas- en tanto que “Van a ser las 16:00 horas del 2 de agosto de 1999” no lo es. Los lógicos llaman operadores temporales a P y F. Los operadores temporales pueden ser iterados o compuestos. Por ejemplo, podemos decir “El sol habrá estado brillando”, esto es, “Será el caso que fue el caso que el sol brilla”: FPs. O podemos decir “El sol hubo estado brillando”, esto es, “Fue el caso que fue el caso que el sol brilla”: PPs (Los operadores modales que conocimos en el capítulo pasado también pueden ser iterados de este modo, aunque eso no fue considerado ahí). No todas las iteraciones de operadores temporales tienen expresiones concisas en español. Por ejemplo, no hay un mejor modo de expresar FPFs que la más bien defectuosa “Será el caso que fue el caso que el sol brillará”. Sin embargo, las iteraciones tienen un sentido gramatical perfecto. Llamamos tiempos compuestos a las iteraciones de P y F, como FP, PP,...

Ahora, de vuelta a McTaggart. McTaggart razonó que no habría tiempo si no hubiera pasado y futuro: estos son su esencia. Aun así afirmaba que lo pasado y lo futuro son inherentemente contradictorios; de modo que, en realidad, nada puede corresponder a ello. Bueno, quizás. ¿Pero porqué el pasado y el futuro son contradictorios? Para empezar, el pasado y el futuro son incompatibles. Si algún evento instantáneo es pasado, entonces no es futuro y viceversa. Sea e algún evento instantáneo. Puede ser cualquier cosa que se quiera, pero supongamos que sea el paso de la primera bala a través del corazón del Zar Nicolás en la Revolución Rusa. Sea h la sentencia “e está ocurriendo”. Entonces tenemos que:

¬(Ph & Fh)

Pero e, como todo evento, es pasado y futuro. Debido a que el tiempo fluye, todos los eventos tienen la propiedad de ser futuro (antes de suceder) y la propiedad de ser pasado (después de suceder):

Ph & Fh

De modo que tenemos una contradicción.

No parece que este argumento pueda persuadir a alguien por mucho tiempo. Un evento no puede ser pasado y futuro al mismo tiempo. El instante en el que la bala pasó a través del corazón del Zar fue pasado y futuro en diferentes momentos. Comenzó como futuro; se volvió presente en un instante doloroso; y entonces fue pasado. Pero ahora -y esta es la astucia del argumento de McTaggart- ¿Qué estamos diciendo aquí? Estamos aplicando tiempos compuestos a h. Estamos diciendo que fue el caso que el evento fue futuro, PFh; después fue el caso que fue pasado, PPh. Ahora, muchos tiempos compuestos, tal como los tiempos simples, son incompatibles. Por ejemplo, si algún evento será futuro,  no es el caso que fuera pasado:

¬(PPh & FFh)

Pero tal como sucede con los tiempos simples, el flujo del tiempo es suficiente para asegurar que todos los eventos tienen tiempos compuestos también. En el pasado Fh; en el pasado distante FFh. En el futuro, Ph; y en el futuro distante, PPh:

PPh & FFh

Y caemos de nuevo en contradicción.

Alguno habrá notado y replicará que, justo como antes, h tiene sus tiempos compuestos en diferentes tiempos. Fue el caso que FFh; entonces, más tarde, fue el caso que PPh. Pero ¿qué estamos diciendo aquí? Estamos aplicando tiempos compuestos más complejos a h: PFFh y PPPh; a lo cual le podemos aplicar exactamente el mismo argumento de nuevo. Estos tiempos compuestos no son todos consistentes entre todos, pero el flujo del tiempo asegura que h los posee todos ellos. Podemos hacer la misma réplica de nuevo, pero, también, queda abierta para la misma contrarréplica. De cualquier modo que intentemos sacar la contradicción de un conjunto de tiempos, lo hacemos describiendo cosas en los términos de otros tiempos que son igualmente contradictorios, de modo que nunca escapamos a la contradicción. Este es el argumento de McTaggart.

¿Qué habremos de decir sobre ello? Para responderlo, observemos la validez de las inferencias concernientes a los tiempos. Para caracterizarlo, suponemos que toda situación, s₀, viene con un conjunto de otras situaciones -que en esta ocasión, no representan posibilidades asociadas a s₀ (como con los operadores modales), sino situaciones que son o anteriores a s₀ o posteriores a s₀. Asumiendo, como normalmente lo hacemos, que el tiempo es unidimensional e infinito en ambas direcciones, pasado y futuro, podemos representar las situaciones de un modo familiar.

... s_-3, s_-2, s_-1, s₀, s₁, s₂, s₃...

La izquierda es el antes y la derecha el después. Como es usual, cada s nos provee de un valor de verdad, V o F, para toda sentencia sin operador temporal. ¿Qué pasa con las sentencias con operadores temporales? Bueno, Pa es V en cualquier situación, s, sólo si a es verdadera en alguna situación a la izquierda de s; y Fa es V en s, sólo si a es verdadera en alguna situación a la derecha de s.

En tanto hacemos todo esto, podemos sumar dos nuevos operadores temporales, V y H. V puede ser leído como “Siempre Va a ser el caso que”, y Va es verdadera en cualquier situación, s, sólo si a es verdadera en todas las situaciones a la derecha de s. H puede ser leído como “Siempre Ha sido el caso que” y Ha es verdadera en cualquier situación, s, sólo si a es verdadera en todas las situaciones a la izquierda de s (V y H se corresponden a F y P, respectivamente, justo del modo en que ◻ se corresponde con ◊).

Esta maquinaria nos muestra el porqué las dos inferencias con que iniciamos el capítulo son válidas. Empleando los operadores temporales, estas inferencias pueden ser escritas, respectivamente, como:

ll

FPll

FHll

ll

Esta inferencia es válida, dado que ll es verdadera en alguna situación, s₀, entonces en cualquier situación a la derecha de s₀, digamos, s₁, Pll es verdadera (dado que s₀ está a su izquierda). Pero entonces FPll es verdadera en s₀, dado que s₁ está a su derecha. Podemos graficar lo anterior de este modo:

... s_-3, s_-2, s_-1, s₀, s₁, s₂, s₃...

       ll

                    Pll

       FPll

La siguiente inferencia es válida, dado que si FHll es verdadera en s₀, entonces en alguna situación a la derecha de s₀, digamos s₂, Hll es verdadera. Pero entonces en todas las situaciones a la izquierda de s₂, y en particular s₀, ll es verdadera:

... s_-3, s_-2, s_-1, s₀, s₁, s₂, s₃...

         FHll

                                Hll

                                                           ll      ll       ll

Más aún, ciertas combinaciones de tiempos son imposibles, como cabría esperar. Así, si h es una sentencia que sólo es verdadera en una situación, digamos s₀, entonces Ph y Fh son falsas en toda s. Ambas conjuntas son falsas en s₀; la primera conjunta es falsa a la izquierda de s₀; la segunda conjunta es falsa a la derecha. Similarmente, e.g. PPh y FFh son falsas en toda s. Dejémoslo sin detallar.

Ahora ¿cómo se relaciona todo ello con el argumento de McTaggart? La resultante del argumento de McTaggart, recordemos, fue que como h tiene todo tiempo posible, nunca es posible evitar la contradicción. Resolver las contradicciones a un nivel de complejidad de los tiempos compuestos sólo los crea en otro. La caracterización de los operadores temporales que recién se ha dado, muestra que esto es falso. Supóngase que h sólo es verdadera en s₀. Entonces cualquier afirmación con tiempo compuesto concerniente a h es verdadera en algún lugar. Por ejemplo, considérese FPPFh. Esta es verdadera en s₂, como lo muestra el siguiente diagrama:

... s_-3, s_-2, s_-1, s₀, s₁, s₂, s₃...

         h

                                                                       Fh

                     PFh

                                   PPFh

                                                            FPPFh

Claramente, podemos hacer lo mismo para cualquier tiempo compuesto de F y P, zigzagueando de derecha a izquierda, tanto como se requiera. Y todo esto es perfectamente consistente. La infinitud de situaciones diferentes nos permite asignar a h todos sus tiempos compuestos en lugares apropiados sin violar las variadas incompatibilidades entre ellos, e.g. teniendo a Fh y Ph como verdaderas en la misma situación. Después de todo, el argumento de McTaggart falla.

8. El espacio no fluye. La persistencia de la memoria, Salvador Dalí.

Este es un final feliz para aquellos que desean creer en la realidad del tiempo. Pero aquellos que están de acuerdo con McTaggart podrían no estar aun persuadidos por nuestras consideraciones. Supóngase que se nos da un conjunto de especificaciones para la construcción de una casa: la puerta de enfrente va aquí; una ventana aquí… ¿Cómo saber que todas las especificaciones son consistentes? ¿Cómo saber que, cuando llevemos a cabo la construcción, todo funcionará y no será necesario, por ejemplo, poner alguna puerta en una posición incompatible? Un modo de determinarlo es construir un modelo a escala de acuerdo a todas las especificaciones. Si tal modelo puede ser construido, las especificaciones son consistentes. Esto es exactamente lo que hemos hecho en lo dicho sobre los tiempos. El modelo es la secuencia de las situaciones, junto con el modo de asignar V y F a las sentencias temporales. Ello es algo un poco más abstracto que el modelo de una casa, pero el principio es esencialmente el mismo.

Sin embargo, puede ser posible objetarle algo al modelo. Algunas veces un modelo ignorará cosas importantes. Por ejemplo, en un modelo a escala de una casa, una viga podría no colapsar, porque esta soporta muchísimo menos peso del que le correspondería a esa viga en una construcción a escala completa. La viga a escala completa podría ser requerida para soportar una carga imposible, haciendo imposible la construcción del edificio a escala completa –a pesar del modelo. Similarmente, podría sugerirse que nuestro modelo del tiempo ignora cosas importantes. Después de todo, lo que hemos hecho es dar un modelo espacial del tiempo (izquierda, derecha, etc.). Pero el espacio y el tiempo son cosas muy diferentes. El espacio no fluye del modo en el que el tiempo lo hace (lo que sea que ello pueda significar, en realidad). Ahora, es exactamente este fluir del tiempo el que produce las supuestas contradicciones que Mctaggart apuntaba. ¡No nos maravillemos que estas no aparezcan en el modelo! Entonces ¿qué es lo que, exactamente, se pierde en el modelo? ¿y una vez que esto es tomado en consideración, la contradicción reaparece?

Ideas principales del capítulo.

·         Toda situación viene con una colección asociada de situaciones anteriores y posteriores.

·         Fa es verdadera en una situación, si a es verdadera en alguna situación posterior.

·         Pa es verdadera en una situación, si a es verdadera en alguna situación anterior.

·         Va es verdadera en una situación, si a es verdadera en toda situación posterior.

·         Ha es verdadera en una situación, si a es verdadera en toda situación anterior.

Graham Priest, Logic A very short introduction, 2000, 2006 (Traducción propia).